Автокорреляция уровней динамического ряда и характеристика его структуры

При наличии тенденции в ряде динамики уровни ряда характеризуются автокорреляцией, т. е. каждый последующий уровень ряда зависит от предыдущего. Например, цена на товар сегодня, как правило, зависит от цены вчерашнего дня. Корреляционная связь между последовательными значениями уровней динамического ряда называется автокорреляцией уровней динамического ряда.

Для измерения автокорреляции уровней динамического ряда используется коэффициент автокорреляции уровней.

(5.1).

где у, — фактические уровни динамического ряда; ус_Т — уровни того же динамического ряда, но сдвинутые на? шагов во времени;? — величина лага (сдвига во времени), принимающая значения 1,2, 3,… и определяющая порядок коэффициента автокорреляции.

При? = 1 рассчитывается коэффициент автокорреляции первого порядка, т. е. измеряется корреляция текущих значений уровней динамического ряда уг с предшествующими уровнями уг_г.

При? = 2 изучается зависимость текущих уровней ряда у, с уровнями этого же ряда, сдвинутыми на 2 временных шага у,_2, т. е. рассчитывается коэффициент автокорреляции второго порядка, а при х = 3 — соответственно третьего порядка, при X = к — коэффициент автокорреляции к-го порядка. Чем длиннее динамический ряд, тем выше может быть порядок коэффициента автокорреляции уровней.

Коэффициент автокорреляции уровней ряда практически рассчитывается по формуле линейного коэффициента корреляции. Поэтому его величина изменяется в пределах от -1 до +1. Чем ближе его величина , тем сильнее зависимость текущих уровней динамического ряда от предыдущих.

Если ряд характеризуется четко выраженной тенденцией, то для него коэффициент автокорреляции первого порядка приближается к +1. Так, для рассмотренного ранее ряда динамики заработной платы работника коэффициент автокорреляции уровней первого порядка составил 0,9987, демонстрируя тесную связь последующих уровней ряда от предыдущих.

Поскольку в примере рассчитывается коэффициент автокорреляции первого порядка, т. е. когда? = 1, формула его расчета приобретает вид.

(5.2).

где у, — уровни ряда в момент времени f; yf_j — те же уровни ряда, но сдвинутые на год, т. е.уровни ряда в момент времени (t — 1) (предыдущий год).

Так как оба ряда (у, иум) для расчета коэффициента автокорреляции должны быть одинаковой длины, то первое значение по ряду уг в расчетах не участвует. По нашему примеру необходимые суммы для подсчета отдельных элементов формулы коэффициента автокорреляции уровней составили.

Соответственно коэффициент автокорреляции уровней составит.

Методика расчета коэффициентов автокорреляции более высоких порядков та же, но при этом число коррелируемых пар уменьшается. В нашем примере их восемь (ct = 2 по t = 9). Если же увеличим лаг до 2 лет, т. е.? = 2, то останется семь коррелируемых пар (с t = 3 по? = 9), при? = 3 будет шесть коррелируемых пар (с t = 4 по t = 9). Ввиду уменьшения числа наблюдений при расчете коэффициента автокорреляции уровней, увеличение величины лага не беспредельно: принято считать, что максимальная величина лага должна быть не более чем п / 4 (n — длина динамического ряда). Для нашего примера при л = = 9 максимальная величина лага составит 2 года (? = 2).

Для расчета коэффициента автокорреляции второго порядка составим таблицу.

Таблица 5.1. Расчет коэффициента автокорреляции уровней второго порядка (для ряда динамики заработной платы работника).

* Подсчитано без первых двух строк Так как теперь в расчете участвует семь коррелируемых пар и , то первые две строки табл. 5.1 не принимаются во внимание. Коэффициенты автокорреляции разных порядков принято обозначать где указывает на номер порядка коэффициента автокорреляции. Формула расчета коэффициента автокорреляции второго порядка следующая:

где

Соответственно коэффициент автокорреляции равен.

В рассмотренном примере уровни динамического ряда имеют тенденцию к возрастанию, и коэффициенты автокорреляции приближаются к +1. Аналогичная картина будет наблюдаться и при тенденции к уменьшению уровней динамического ряда. Например, лесовосстановление в России за 1995−2002 гг. характеризуется тенденцией к снижению. Уровни ряда (в тыс. га) составили:

Коэффициенты автокорреляции первого и второго порядков оказались равными? = 0,812 и г2 =0,885, что подтверждает наличие тенденции в ряду динамики. При этом г, > 0 и г2 > 0, хотя ряд и имеет тенденцию к снижению. Чем тенденция по ряду динамики более четкая, тем ближе г, и г2 к +1.

Для стационарного динамического ряда с небольшими колебаниями уровней, гг достаточно близок к нулю и может принимать небольшое отрицательное значение. Так, предположим, что уровни ряда приняли следующие значения (последовательно во времени):

Коэффициент автокорреляции первого порядка составил -0,209, а коэффициент автокорреляции второго порядка составил 0,056.

Серию коэффициентов автокорреляции уровней ряда с последовательным увеличением величины лага принято называть автокорреляционной функцией (АКФ).

Для стационарного временного ряда с увеличением величины лага взаимосвязь ус и y,_t ослабевает и АКФ характеризуется монотонным убыванием, что графически должно представлять затухающую кривую (рис. 5.7).

По стационарному ряду АКФ оценивается исходя из формулы коэффициента автокорреляции.

(5.3).

где n — длина временного ряда ; ? -временной сдвиг;  — средняя арифметическая по исходному ряду .

В нашем примере АКФ для стационарного ряда составила: г, = -0,209; г2 = 0,056; г3 = -0,114; г4 — -0,356; г5 = 0,057; г6 = -0,074; г7 = -0,003. Однако при ограниченной длине динамического ряда поведение АКФ в виде рис. 5.7 не всегда соблюдается.

АКФ дает представление о внутренней структуре динамического ряда. С помощью АКФ можно определить наличие или отсутствие в ряду динамики периодических колебаний и соответственно величину периода колебаний: она равна той величине лага ?, при которой коэффициент автокорреляции уровней наибольший.

Предположим, что объем продаж товара за 18 мес. характеризуют следующим образом (рис. 5.8).

График показывает наличие тенденции, а также периодических колебаний. Это подтверждает и АКФ:

Рис. 5.7. Коррелограмма АКФ.

Рис. 5.8. Динамика объема продаж Достаточно высокое значение коэффициента автокорреляции первого порядка (Г] = 0,863) означает наличие тенденции в ряде динамики. Вместе с тем максимальное значение коэффициента автокорреляции наблюдается при лаге 3 и кратном ему лаге 6, т. е. для ряда характерна регулярная колеблемость уровней через 3 мес.: подъем в течение 3 мес. сменяется спадом в следующий месяц. Иными словами, волнообразное изменение объема продаж повторяется через 3 мес., что и демонстрирует АКФ. Для динамического ряда с монотонной тенденцией к возрастанию (или уменьшению) уровней АКФ имеет значения, близкие к +1, которые медленно снижаются с возрастанием величины лага. Например, за 60 кварталов динамика объема продаж характеризовалась уравнением тренда.

где у — объем продаж в тыс. руб.;

Коэффициент детерминации для него составил 0,973, характеризуя хорошее качество описания тенденции ряда: отклонения фактических уровней ряда от теоретических, обусловленных тенденцией, составляют всего 2,7%. АКФ для данного ряда оказалась следующей: rj = 0,991; г2 = 0,984; г3 = 0,980; г4 = = 0,979; г5 = 0,973; г6 = 0,968; г7 = 0,963; г8 = 0,965; г9 = 0,963; гю = 0,962; ги = 0,959; г12 = 0,957; г13 = 0,952; г14 = 0,955; г15 = 0,943.

Если ряд характеризуется сменой тенденций, то АКФ примет значения, стремительно уменьшающиеся с возрастанием величины лага, сопровождаемые иногда сменой знака коэффициента автокорреляции. Так, например динамический ряд описывается параболой второго порядка (рис. 5.9).

АКФ оказывается следующей:

Рис. 5.9. Тренд в виде параболы второй степени Похожая ситуация имеет место, например, при анализе динамики числа раненых в ДТП (на 100 тыс. человек населения) за 1999−2008 гг. по Тюменской области. Тенденция описывается параболой видау = 80,537 + 45,756t- 3,5053г2. Коэффициенты автокорреляции уровней с увеличением величины лага составили: 0,831; 0,588; 0,179; -0,544.

Иными словами, знание АКФ может помочь при подборе модели рассматриваемого динамического ряда.