Аддитивная модель сезонности

Аддитивная модель предполагает агрегирование отдельных компонент уровней динамического ряда на основе информации за несколько лет. В зависимости от того, есть или нет тенденция в ряду динамики, она может иметь следующий вид:

при отсутствии тенденции; при наличии тенденции, где - уровень динамического ряда в период времени t; - средний уровень динамического ряда; - теоретический уровень ряда согласно тенденции; S — сезонная составляющая, измеренная в тех же единицах, что и уровень ряда;? — случайная компонента, измеренная в тех же единицах, что и уровень ряда.

Аддитивная модель при отсутствии тенденции

При отсутствии тенденции в ряду динамики общая колеблемость уровней ряда раскладывается на две составляющие: влияние сезонности S и влияние случайности ?. Тогда имеем равенство.

(5.39).

где - средний уровень ряда соответствующего периода внутри года (месяца, квартала) за ряд лет.

В данном равенстве величина отражает влияние сезонности, а величина характеризует влияние случайной компоненты. Влияние сезонной компоненты можно оценить, если уровень ряда представить с помощью линейной модели с фиктивными переменными.

(5.40).

где - фиктивные переменные для кварталов I, II и III, принимающие значение 1 для рассматриваемого квартала и 0 — для остальных.

Так, Zj = 1 только для I квартала, z2 = 1 — для II квартала и z3 = 1 — для III квартала. Применяя к матрице исходных данных МНК, получим оценку параметров В данной модели сравнение ведется с IV кварталом, для которого z = 0.

Параметры модели интерпретируются следующим образом. Параметр для IV квартала, т. е. ; параметры , т. е. показывают, насколько средний уровень j-ro квартала ниже или выше среднего уровня за IV квартал. Такая интерпретация параметров обусловлена спецификой фиктивных переменных и применением к модели МНК.

Использование МНК в нашем случае приводит к системе нормальных уравнений.

(5.41).

В этой системе п — число квартало-лет; (число исследуемых лет); = (итог по I кварталу за ряд лет); ?/??2 = Ху j=2 (итог по II кварталу за ряд лет); (итог по ІН кварталу за ряд лет); по переменным по ним.

Вычтем из первого уравнения три последующих и получим.

т.е. параметр а отражает средний уровень за IV квартал.

Разделив уравнения 2, 3 и 4 на к и подставив значение параметра а, найдем оценки параметров , а именно.

Предположим, что по данным в поквартальном разрезе за три года о реализации товара была построена аддитивная модель.

Уравнение показывает, что в IV квартале средний размер реализации за год составил 30 ед. В I квартале средний размер реализации за год был ниже, чем в IV квартале, на 3 ед., а во II и III кварталах — наоборот, выше, чем в IV квартале, на 96 и 144 ед. соответственно.

На основании модели могут быть найдены средние значения для каждого квартала, а именно ? т. е.

Иными словами, имея модель уровней динамического ряда, одновременно имеем значения средних уровней для каждого квартала. Это позволяет исходя из модели оценить сезонные колебания по их абсолютной величине . -Учитывая, что сезонная компонента составит . Различия в величине сезонной составляющей I и IV кварталов не велики, что подтверждается t-статистикой для параметра . Влияние сезонного фактора во II и III кварталах весьма ощутимо: увеличение объемов продаж статистически значимо по t-критерию Стьюдента (18,7 и 28,1 для Ъ2 и Ь3 соответственно). В целом рассматриваемая модель достаточно хорошо представляет исходный ряд , т. е. на долю случайной колеблемости приходится 0,7%.