Аддитивная модель при наличии тенденции

При наличии тенденции в ряду динамики общая колеблемость уровней ряда раскладывается на три составляющие:

(5.42).

где - тренд с учетом сезонности, т. е. уровень ряда, обусловленный одновременно влиянием тенденции и сезонности.

Графически влияние этих составляющих представлено на рис. 5.23.

Чем больше угол наклона линии тренда к среднему значению ряда , тем больше влияние тенденции (рис. 5.23, а). Чем больше плавная кривая отклоняется от линии тренда , тем значительнее влияние сезонности (рис. 5.23, б). Чем ближе фактические уровни ряда подходят к плавной линии точек , тем меньше влияние случайности (рис. 5.23, в).

Существуют разные подходы расчета отдельных составляющих рассматриваемой аддитивной модели, которые зависят от того, как найдены выровненные данные , отражающие тенденцию, а именно:

а) путем исключения сезонности из данных;

Рис. 5.23. Разложение колеблемости уровней динамического ряда на составляющие:

а — влияние тенденции; б — влияние сезонности; в — влияние случайности б) включая сезонность, т. е. выравнивая непосредственно исходные уровни динамического ряда.

Чаще предпочтение отдается первому подходу, при котором вначале производится выравнивание динамического ряда методом скользящих средних для выделения сезонных колебаний S, а далее, исключив их, определяется тренд без сезонных колебаний Т = уг Построение модели включает в себя следующие расчеты.

• 1. Нахождение сглаженных уровней динамического ряда методом скользящих средних уг
• 2. Оценка сезонной компоненты S; и ее корректировка S •.
• 3. Элиминирование сезонной компоненты из исходных данных временного ряда (yt-Sj), т. е. проводится десезонолизация уровней динамического ряда.
• 4. Построение уравнения линейного тренда по уровням ряда с элиминированием сезонности.
• 5. Расчет выровненных значений трендовой составляющей уг
• 6. Расчет теоретических уровней ряда с учетом сезонности (yt +Sj).
• 7. Расчет случайной компоненты ?, позволяющий оценить далее качество построенной модели.

Данная методика обычно рассматривается в учебниках по эконометрике при разложении уровней динамического ряда по аддитивной модели^[1].

Аддитивная модель уровней динамического ряда при наличии тенденции и сезонности может быть построена как модель регрессии с включением в нее фактора времени t и фиктивных переменных z. Так, при квартальном разрезе информации модель примет вид.

(5.43).

Фактор времени t в этой модели позволит учесть влияние тенденции. Сезонный фактор представлен фиктивными переменными. Предположим, что Zj, z2 и z3 соответствуют учету сезонного фактора в I, II и III кварталах соответственно, т. е.

Так как фиктивные переменные z принимают только значения 1 и 0, то практически мы имеем модель тенденции для каждого квартала:

Иными словами, параметры при фиктивных переменных отражают изменение уровня ряда соответствующего квартала под воздействием сезонности по сравнению с IV кварталом.

Предположим, что по данным за три года о численности безработных района (в тыс. человек) была построена аддитивная модель.

Параметр b = -0,344 указывает на тенденцию снижения уровней ряда при элиминировании сезонности, т. е. ежеквартально независимо от влияния сезонности численность безработных снижалась в среднем на 344 человека.

Параметры с1, с2, с3 показывают, что в I, II и III кварталах уровни ряда независимо от влияния тенденции были в среднем ниже, чем в IV квартале, на соответствующие величины.

Параметр а = 12,417 характеризует уровень IV квартала нулевого года. В рассматриваемой аддитивной модели параметры при фиктивных переменных с1 с2, с3 фиксируют не уровни сезонности соответствующего квартала, а их отличие от воздействия сезонности в IV квартале.

Вместе с тем, зная параметры с" с2 и с3, можно определить показатели сезонности. Исходя из содержания параметров при фиктивных переменных, имеем.

где - показатели сезонности соответствующих кварталов.

Тогда

Но так как, то можно записать, что I

, или . Отсюда получим значение сезонной компоненты для IV квартала.

Для нашего примера, используя значения параметров модели, получим . Далее определяем сезонные компоненты I, II и III кварталов.

По данным примера имеем значения компонент.

(при более точном подсчете получим нуль).

Часто в практических исследованиях сезонность изучают по месячным данным, ибо сезонность может проявлять себя и внутри квартала. В этом случае применение модели с фиктивными переменными (а их будет 11) потребует информации не менее, чем за 7−8 лет, чтобы на каждый параметр модели приходилось достаточное число степеней свободы и можно было получить надежные оценки параметров. При ограниченной по числу лет информации изучение сезонности по месячным данным целесообразно вести по аддитивной модели, основанной на разложении уровней динамического ряда по компонентам.

• [1] Эконометрика; учебник / под ред. И. И. Елисеевой. Μ.: Проспект. 2009. С. 172−175.