Описание математической модели создания многоцелевой экономической системы

В предыдущих исследованиях отмечалось, что отличительной особенностью подавляющего большинства видов материальной продукции среднего и длительного периода пользования (как результатов труда человека) являются многообразие целей и условий их применения, многовариантность структурных (архитектурных) решений, а также комплексов, в которых они используются. Но множественность характерна также и для технологического процесса создания конечной продукции (неопределенность исходных данных, неточность используемых моделей, многовариантность возможных при создании продукции конструктивных и алгоритмических решений). Эти факторы приводят к необходимости исследования задачи создания продукции, оптимальной в многоцелевой постановке, с точки зрения теоретико-множественного подхода.

Одним из таких подходов является разработка математической модели многоэлементной многоцелевой продукции. Такой подход может быть использован и для комплексированной продукции, содержащей различные типы подсистем.

Сначала определим понятийный аппарат и его техническую интерпретацию. В предполагаемой модели, в отличие от одноцелевой модели , где эффективность f выполнения единичного задания v определяется функционалом от векторов управления u (t), параметров настройки , а также параметров задания v и продукции у, в качестве неуправляемых факторов (исходных данных) рассматривается не единичное задание v, а некоторое их множество V, описывающее объединенную единой целью совокупность заданий по созданию и использованию продукции (процесс унификации).

Элементами множества V являются задания v, каждое из которых аналогично заданию, рассмотренному в одноцелевой постановке. Множество заданий может быть как континуальным, описываемым в многомерном пространстве как область с границей f(V), так и дискретным, в котором заданиями является совокупность отдельных заданий , . Аналогичные множества можно выделить и для блоков (модулей) продукции. Эти множества представляют собой совокупность функциональных заданий модулей системы, необходимых для решения либо единичного v задания, либо множества V заданий самостоятельно или в качестве канала комплектированной (интегрированной) системы.

Множество заданий V, формируемое путем моделирования многообразия ситуаций применения различной продукции, предполагается известным до начала создания продукции, но при этом степень точности и достоверности информации о характеристиках единичных заданий может быть различной.

В случае полной информации множество V состоит из совокупности:

• — всех возможных значений параметров единичных заданий;
• — функции частоты появления единичных заданий;
• — функции композиции (объединения и дробления) заданий.

Частота появления единичных заданий, описанная на множестве заданий V, определяет необходимую интегральную характеристику каждого единичного задания (например, вероятность выполнения конкретного задания из общей совокупности заданий, необходимую периодичность их решения, вероятность использования того или иного канала в комплексированной продукции и т. п.) и учитывается при выборе базовой схемы продукции.

Функции композиции определяют соответственно возможность объединения и дробления заданий перед их выполнением. Так, например, одна и та же информационная система наблюдения может быть использована для выполнения информационных задач обнаружения, распознавания, сопровождения и навигации как воздушных и наземных, так и морских объектов.

С другой стороны, одна и та же задача может быть выполнена с помощью продукции различных типов (с точки зрения технико-технологических, конструктивных и алгоритмических решений). То же относится и к каналам комплексированной (интегрированной) продукции.

Что касается модулей продукции, то для выполнения одной и той же функциональной задачи можно использовать различные типы модулей, и наоборот — один и тот же модуль в ряде случаев может выполнять несколько функциональных задач. Так, например, фотоприемное устройство с полноформатной матрицей приемников (чувствительных элементов) может совмещать функции линейки фотоприемников и развертывающего устройства-сканера.

Любая конечная продукция, предназначенная для решения множества задач, включает в себя s типов блоков (модулей), формирующих стратегию:

Стратегия А представляет собой совокупность из s блоков (модулей) продукции, каждый из которых характеризуется вектором параметров.

(8.10).

Идентичные блоки (модули) совокупности (8.10) называются однотипными, а их объединения — типами и обозначаются соответственно через и , где - число (серийность) однотипных модулей про? дукции т — число типов модулей.

В этом случае каждый тип модулей представляет собой упорядоченную пару или объединение , а их стратегия А (совокупность модулей, необходимая для решения комплексированной продукцией множества заданий) представляет собой объединение типов функциональных модулей:

При этом общее число модулей в системе определенного комплекса заданий определяется суммой.

Для числа типов модулей создаваемой продукции т и их серийности могут существовать различные ограничения, предусмотренные технической задачей. Так, например, ограничение означает, что создаваемая продукция может состоять не менее чем из четырех типов функциональных модулей, обеспечивающих выполнение всех заданий множества V, но не более чем из семи типов модулей, каждый из которых выполняет некоторое функциональное задание . Условие отражает дефицит модулей j-го типа, связанный, например, с ограниченными возможностями производства.

Многоразовое решение конкретной задачи совокупностью модулей или функционального задания определенным модулем на интервале времени характеризуется числом выполняемых операций , рассчитываемых на основе модели оборачиваемости:

(8.11).

которая устанавливает связь между эксплуатационной технологичностью продукции , выполняемыми заданиями v, совокупностью управлений и параметров настройки , реализующих эти задания.

Примером модели оборачиваемости являются статистические модели допустимой плотности потока заявок на обслуживание, ограничиваемой пропускной способностью системы.

Ограниченные функциональные возможности модуля j-го типа (либо возможности канала комплексированной продукции) стратегии А задают область достижимых заданий , которая совместно с моделью оборачиваемости определяет функциональные возможности каждого модуля продукции (либо возможности канала комплексированной продукции) и его быстродействие.

Объединение областей достижимых заданий характеризует возможности стратегии А в целом. Поскольку дублирование возможностей различных типов модулей систем, каналов комплексированной продукции и самой продукции приводит к образованию этих областей, то возникает необходимость разделения этих областей между элементами стратегии по принципу наиболее эффективного их применения.

Для моделирования взаимодействия элементов стратегии А воспользуемся понятием областей специализации.

и распределяющей функции , которая определяет для каждого функционального задания номер выполняющего его элемента стратегии А, выделяя тем самым на множестве X области специализации всех элементов стратегии А.

В этом случае области специализации , ограниченные возможностями соответствующих элементов, не пересекаются, а их объединение удовлетворяет условию.

В рамках рассматриваемой математической модели взаимодействие разнотипных элементов стратегии А сводится к разбиению множества V на т областей специализации .

Для оценки эффективности многоцелевой системы и формулировки соответствующих задач оптимизации введем функционал.

(8.12).

значение которого определяется парой векторов , , мерой области специализации блока оптимальной экономической системы (ОЭС), управлением и параметрами настройки .

Для фиксированных стратегий А и распределяющей функции введем показатель эффективности многоцелевой продукции , который целесообразно построить по критерию объединенных операций:

(8.13).

где Ф — оператор вычисления эффективности при объединении заданий V через значения локальной эффективности на каждом задании v.

В таких условиях задача создания оптимальной многоэлементной продукции модульного типа заключается в определении ее характеристик — распределяющей функции RF (v), стратегии А и режимов эксплуатации наилучших с точки зрения показателя эффективности^[1]:

(8.14).

Выражение (8.14) может быть принято за основу при формировании алгоритма построения базовой продукции на основе технологии квантового копирования.

Таким образом, для повышения адекватности модели товарной продукции при переходе от модели в одноцелевой постановке к модели в многоцелевой постановке необходимо описать:

• — внешнее множество V, отражающее многообразие условий применения продукции, а также условия применения в продукции отдельных модулей;
• — области достижимых функциональных заданий модулями продукции (области достижимых заданий каналами комплексированной продукции или самими системами в их рассматриваемой совокупности) стратегии А, объединяющие противоречивые свойства модулей — универсальность и специализацию;
• — многоэлементную стратегию модулей продукции (каналов комплексированной продукции или самих систем)

позволяющую учесть в математической модели взаимодействие нескольких разнотипных (возможно автономных) функциональных модулей , направленное на повышение эффективности выполнения множества заданий V за счет перераспределения его отдельных заданий между т элементами стратегии с помощью функции распределения ;

— меру области специализации элемента стратегии А, задействованную при выполнении задания v, которая позволяет учесть при создании модульной продукции (комплексированной продукции или совокупности систем) свойство адаптации стратегии при многократном повторении процесса выполнения конкретной задачи.

Рассмотренные понятия и сформулированная задача создания оптимальной многоэлементной продукции модульного типа составляют основу многоцелевого подхода к созданию оптимальной продукции модульного типа в многоцелевой постановке, являющейся прообразом технологии квантового копирования.

• [1] Тебекин А. В., Конотопов М. В. Концепция создания универсальной технологии // Инновации и инвестиции. 2007. № 1.