Аукционы, теория механизмов

В результате освоения данной главы студент должен:

знать

• • теоретико-игровые модели аукционов (аукцион первой цены, аукцион второй цены) и основные выводы, получаемые на основе данных моделей;
• • определения понятий «прямой механизм», «совместимость по стимулам» ;
• • теорему об эквивалентности доходов, теорему Майерсона — Саттертуэйта;

уметь

• проводить содержательный анализ решений, находимых в рамках теоретико-игровых моделей прямых механизмов;

владеть

• • пониманием значения, роли и места аппарата игр с неполной информацией в теоретических и прикладных исследованиях, связанных с закономерностями функционирования экономических механизмов;
• • базовыми навыками практического применения теоретико-игровых моделей аукционов для описания и анализа поведения экономических субъектов в ситуациях, допускающих возможность предоставления ими как истинной, так и ложной информации:
• • терминологическим аппаратом, позволяющим самостоятельно осваивать научную и профессиональную литературу, посвященную математическим моделям экономических механизмов.

Достаточно интересные и эффектные примеры приложения методов теории игр связаны с задачами, возникающими при проведении аукционов. Рассмотрим одну из классических теоретико-игровых моделей — аукцион второй цены. Его также называют аукционом Викри, в честь американского экономиста Уильяма Викри (William Spencer Vickrey), внесшего существенный вклад в исследования проблем принятия решений в условиях асимметричной информации, в том числе в сфере налогообложения.

Аукцион второй цены проводится по следующим правилам.

• • Участники одновременно выдвигают заявки с ценами, которые они готовы заплатить за товар, выставленный на аукционный торг.
• • Побеждает заявка с первой (наибольшей) ценой. Однако победивший игрок выплачивает за приобретаемый товар вторую по величине цену (при упорядочении заявленных цен по убыванию). В том случае, если наибольшее значение достигается одновременно на нескольких заявках, то для определенности можно полагать, что победитель среди них определяется случайным образом, например с использованием генератора равновероятных случайных чисел (монетка, игральная кость и т. п.). Для упрощения рассуждений мы не анализируем подобные ситуации.

Введем обозначения:

• • і I {1,…, n) — участники аукциона (игроки);
• • — ценность приобретаемого товара для i-го игрока, і I {1,…, n};
• • — цена, заявляемая в ходе торгов i-м игроком, i I {1,…, n};
• • — максимальное значение цены по заявкам всех участников за исключением i-го, или = max { }, i¹j

Если < , т. е. побеждает заявка і-го игрока, то значение его функции полезности определяется как.

если > , (побеждает заявка другого игрока), то полезность /-го игрока.

Каждое значение однозначно соответствует некоторой подситуации в игре (), определяемой выбором стратегий всеми игроками за исключением i-го. Стало быть, i-й игрок при нахождении своих наилучших ответов , может непосредственно ориентироваться только па значение .

Рассмотрим процедуру поиска i-м игроком наилучшего ответа на некоторое произвольное значение . Все возможные стратегии в данной игре могут быть разделены на две принципиальные группы:

• • стратегии, при которых игроком заявляется цена, большая или равная величине ценности товара для него ( ³ );
• • стратегии, при которых заявленная цена меньше или равна ценности (? ).

Проанализируем оба случая по отдельности. На рис. 12.1 ( ³ ) для каждого из возможных вариантов расположения значения относительно и ( < ? ) обосновывается, почему выбор стратегии = будет наилучшим ответом.

Рbс. 12.1 Аукцион Викри, анализ стратегий ³

Аналогичное обоснование выбора = как наилучшего ответа i-го игрока представлено на рис. 12.2 для ? . В этом случае также рассматриваются все возможные варианты расположения < ?

Рис. 12.2. Аукцион Викри, анализ стратегий ?

Проведенные рассуждения относятся к любому из участников игры. Следовательно, в аукционе второй цены наилучшим ответом для каждого из игроков является назначение цены, равной собственной оценке полезности товара, или правдивой оценки. Таким образом, в аукционе второй цены (аукционе Викри) существует равновесие по Нэшу, состоящее в том, что все участники назначают цены, равные собственным оценкам полезности торгуемого товара, или «равновесие в правдивых ценах» .

Заметим также, что данное равновесие не является единственным. Например, можно показать, что для любого игрока i и любого значения x I [0, и e > 0 равновесием будет ситуация = в которой.

Действительно, величина которую называет i-Й игрок в своей заявке, может быть сколь угодно большой, так как по правилам аукциона он платит вторую цену, т. е. х, что не превышает его личной оценки полезности товара. Поскольку в ситуации товар получает i-Й игрок, то при отклонении от нее он может разве что уступить его какому-нибудь другому игроку. Это по меньшей мере не улучшит его полезности. Остальные игроки (j¹i), если захотят «перехватить» товар у i-го, в ситуации должны будут заявить цену, превышающую , что приведет к отрицательным значениям их полезностей.

Заметим, что «неединственность» равновесия в правдивых ценах объясняется тем, что наилучшие ответы для каждого из игроков ( = ) лишь слабо доминируют остальные доступные стратегии. В то же время, поскольку ситуация равновесия в правдивых ценах образуется доминирующими стратегиями, то для ее достижения не принципиально, обладают ли участники аукциона информацией о значениях полезностей друг друга.