Финансовые ренты. 
Актуарные расчеты

Оценивание серии платежей. Понятие ренты

В финансовых расчетах часто возникает задача перерасчета сумм для возврата в условиях изменения договора между сторонами по обоюдному согласию — погашение кредита и т. п.

ПРИМЕР 6.6^[1]

Предположим, что должник обязан вернуть два долга: 1000 руб. через год и 2000 руб. через три года. Однако он хотел бы вернуть оба долга немедленно, и его кредиторы согласны пойти на это. Какую сумму он должен выплатить в этой ситуации?

Пусть должнику предлагают выплатить просто сумму 1000 + + 2000 = 3000 руб. и допустим, что в течение рассматриваемого промежутка времени банки дают г = 10% годовых по вкладам. Если он просто поместит 3000 руб. в банк, то через год будет иметь 3300 руб., из которых он выплатит 1000 руб. первого долга; оставшиеся 2300 руб. через год превратятся в 2530 руб., а еще через год — в 2783 руб., из которых он выплатит 2000 руб. второго долга и будет иметь остаток 783 руб.

Значит, выплачивая немедленно простую алгебраическую сумму долгов, должник значительно переплачивает.

Имея ввиду эти рассуждения, попробуем определить какую сумму х он должен вернуть в настоящий момент, для того, чтобы эта финансовая операция была справедливой.

Через год сумма х руб. превратится в, v (1 + г) руб., из которых он выплатит первый долг С, = 1000 руб. Остаток х ( 1 + i) — С, через два года превратится в - С', (1 + i)2 руб., из которых мы выплатим второй долг С2 = 2000 руб.

Если остаток положителен, то эта операция несправедлива по отношению к должнику; если же остаток отрицателен, то эта операция несправедлива, но отношению к кредиторам. Итак, сумма х должна определяться из условия:

что дает

Суммы являются приведенными к настоящему моменту величинами долгов , которые подлежат оплате в заданные моменты в будущем.

Итак, для того, чтобы рассматриваемая финансовая операция была справедливой, мы должны сначала привести оба долга к настоящему моменту:

• 1000 руб. через год сейчас имеют ценность 1000(1 + i)-1 = = 909,09 руб.;
• 2000 руб. через три года сейчас имеют ценность 2000(1 + г) 3 = = 1502,63 руб.

После этого мы можем подсчитать суммарный долг; в настоящий момент он равен 2411,72 руб. (909,09 + 1502,63). Именно эту сумму должник обязан вернуть своим кредиторам — это будет справедливое решение проблемы.

Действительно, если кредиторы просто поместят эту сумму в банк под 10% годовых, то через год они будут иметь 2652,89 руб. (2411,72 • 1,10). За вычетом 1000 руб. в счет погашения первого долга остается 1652,89 руб., которые через два года превратятся в 2000 руб. (1652,89'1,10), что точно позволит погасить и второй долг.

Рассмотренный пример показывает, что если мы хотим оценить серию выплат, которые должны быть сделаны в разные моменты времени, то все эти выплаты должны быть приведены к некоторому финансовому моменту ?0 = 0, после чего их можно складывать, сравнивать и т. д.

С точки зрения приложений к страхованию и пенсионным схемам наиболее важной является задача определения современной стоимости, а серии из п выплат величиной соответственно, которые будут сделаны в некоторые моменты в будущем. Величина а может рассматриваться, например, как сумма, которую человек должен внести в пенсионный фонд в момент заключения договора (этот момент обычно принимают за начальный) с тем, чтобы в будущем, в моменты , получать пенсию величиной . Это означает, что.

(6.16).

Если величина, а будет рассчитана по этой формуле, то к моменту мы будем располагать накопленной суммой.

Это позволит в момент tx выплатить первую пенсию величиной Ьх. Оставшаяся сумма.

к моменту t), т. е. спустя время t2 — tx возрастет до.

Это позволит в момент t2 выплатить вторую пенсию величиной Ь2 и т. д. После выплаты(п — 1)-й пенсии в момент t" _ t мы будем иметь капитал . К моменту ?", т. е. спустя время tn — t" л после момента tn_x, эта сумма вырастет до Ьп, что позволит нам успешно выплатить и последнюю пенсию. Оставшаяся после этого сумма будет равна нулю, что означает справедливость расчета, но формуле (6.16) по отношению к человеку, который купил в момент ?0 = О пенсию.

Выше рассмотрена ситуация, когда плата за пенсии производилась в виде разового взноса в момент заключения договора. Однако часто эта плата производится в виде нескольких (k) платежей (периодические премии) величиной сх,…, ск сделанных в моменты х1;…, хк. Справедливое соотношение между взносами с, и пенсионными выплатами /?,• дается формулой.

(6.17).

Левая часть формулы (6.17) выражает современную ценность всех взносов в пенсионный фонд или страховую компанию, а правая — современную стоимость всех пенсионных выплат страхователю.

Кроме того, обоснование формулы (6.17) можно получить следующим образом.

Рассмотрим последовательность моментов времени 1, Т2, …, Тп+к в которые происходит движение денежных потоков — осуществляется взнос в пенсионный фонд или выплата пенсии. Иными словами, объединим последовательности tx, ?2,…, ?" и ?1; ?2,…, ?" в одну. Обозначим и; величину платежа из фонда в момент Тг Это означает, что если момент Т) является некоторым моментом ф когда выплачивалась пенсия ф, то Uj= bf, если же 7} является некоторым моментом ?;•, когда вносился взнос С; в фонд, то Uj = -Су С учетом этих обозначений уравнение (6.17) можно переписать в виде.

(6.18).

что полностью соответствует уравнению (6.16). Рассуждения, проведенные при обосновании уравнения (6.16), как нетрудно видеть, применимы и в случае, когда некоторые из величин bj отрицательны (в этом случае мы рассматриваем их как взносы в фонд и изменение капитала в момент t,• от величины b, + bi+l у*!+1_й + … до величины ??+1 v’ci-'; + … на самом деле означает его увеличение). Поэтому уравнение (6.18) выражает тот факт, что окончательный баланс по рассматриваемому счету будет нулевым. В некоторые моменты возможен временный отрицательный баланс; на этих промежутках долг клиента растет в соответствии с формулой сложных процентов и гасится будущими увеличенными взносами. Если же выплаты пенсий начинаются только после выплаты всех взносов, то эта ситуация невозможна.

Описанная выше общая модель детерминированной пенсионной схемы на практике обычно не применяется. Реально используются схемы, обладающие той или иной формой регулярности как по величине взносов и выплат, так и по моментам осуществления этих платежей. Особо важным является случай серии платежей фиксированной величины, которые производятся через равные промежутки времени фиксированное число раз. Такие серии платежей обычно называют постоянными рентами (аннуитетами) {level annuity). В обозначениях модели (6.16) постоянная рента может быть определена следующим образом:

Еще один важный случай — это возрастающие ренты (increasing annuity), когда.

• [1] Прообраз задачи см.: Фалин Г. И. Указ. соч.