Общая модель долгосрочного страхования жизни

Под долгосрочными моделями в страховании жизни понимают договоры, заключенные сроком более 1 года, которые учитывают доход от инвестирования собранных премий. Поэтому теория долгосрочного страхования опирается на теорию сложных процентов.

Введем некоторые обозначения:

? — интенсивность процентов, которая не меняется с течением времени:

(8.42).

i — годовая процентная ставка:

(8.43).

V — коэффициент дисконтирования:

d — эффективная учетная ставка:

(8.45).

При страховании жизни на срок оговоренная в договоре сумма выплачивается выгодоприобретателю в конце года смерти застрахованного, если смерть наступила в течение установленного срока действия договора. В противном случае компания ничего не выплачивает и внесенные страхователем премии не возвращает.

Таким образом, пожизненное страхование является частным случаем срочного страхования жизни, когда п = со, т. е. предельному возрасту (который принимается за 100, 110 и т. д. лет). В этом случае оговоренная в договоре сумма выплачивается выгодоприобретателю в конце года смерти застрахованного, когда бы она ни наступила.

Когда выплата производится в конце года смерти застрахованного, имеет место дискретная схема, являющаяся основной актуарной моделью. На практике, как правило, выплата страховой суммы по этим контрактам осуществляется сразу после смерти застрахованного лица. Возникает непрерывная схема. Промежуточное положение занимает схема, где выплата осуществляется в конце определенной части года, например в конце квартала (или месяца).

В самом общем случае момент выплаты страховой суммы является некоторой функцией ?(?,) от остаточного времени жизни Тх застрахованного возраста х. В зависимости от момента выплат функцией х (Г,.) может принимать следующие значения:

— для страхования выплаты страхового возмещения в момент смерти:

(8.46).

— для страхования с выплатой страхового возмещения в конце года смерти:

(8.47).

— для накопительного страхования:

(8.48).

Величина страхового возмещения, как правило, фиксирована. Будем принимать ее в качестве единицы измерения денежных сумм. Однако возмещение может увеличиваться или уменьшаться в зависимости от момента выплаты. Введем функцию bt, которая определяет величину страховой выплаты в случае смерти в момент L

Функции ?(Гг) и Ь, определяют общую модель страхования жизни. С их помощью можно единообразно описать различные виды страхования.

Накопительное страхование жизни на срок п лет (на дожитие)

При этом виде страхования выплата страховой суммы фиксированной величины b= 1 производится в момент п, если застрахованный дожил до этого момента. В случае смерти до момента п страховая компания выплаты не производит. Этот вид страхования описывается следующим образом:

(8.49).

Пожизненное страхование

Пожизненное страхование — простейший пример долгосрочного страхования жизни. При этом виде страхования фиксированная страховая сумма Ь= 1 выплачивается в момент смерти, следовательно:

(8.50).

Пожизненное страхование, отсроченное на k лет

При пожизненном страховании, отсроченном на k лет, выплата фиксированной страховой суммы b = 1 производится в момент смерти застрахованного, но только если она произошла по истечении^{-летнего} срока с момента заключения договора. Если застрахованный умрет раньше, чем через k лет после заключения договора, то страховое возмещение не выплачивается, и поэтому:

(8.51).

Аналогично можно ввести значения функций ?(??) и bt для договора страхования жизни на срок п лет, отсроченное на k лет (на случай смерти):

(8.52).

Страхование жизни на срок п лет (на случай смерти)

При заключении договора страхования жизни на п лет выплата фиксированной страховой суммы b = 1 выплачивается в момент смерти, если застрахованный умер в течение срока действия договора. Если же застрахованный прожил п лет, то выплата не производится:

(8.53).

Смешанное страхование жизни на срок

При заключении такого договора страхования выплата фиксированной страховой суммы b = 1 производится на следующих условиях:

• — если смерть застрахованного наступит до истечения срока действия договора, то страховая сумма выплачивается в момент смерти;
• — если застрахованный дожил до окончания срока действия договора, го страховая сумма выплачивается в момент п окончания срока действия договора:

(8.54).

Этот вид страхования выполняет функции как собственно страхования, так и накопления средств.

Страхование с переменной страховой выплатой

На практике существуют виды страхования, когда величина страховой выплаты меняется в зависимости от момента выплаты. Пожизненное страхование с непрерывно увеличивающейся страховой выплатой — пример такого вида страхования. При этом виде страхования компания выплачивает в момент смерти сумму, равную Тх. Такая ситуация описывается общей моделью при.

(8.55).

Страхование с выплатой страховой суммы в конце года смерти

При страховании с выплатой страховой суммы в конце года смерти страховое возмещение выплачивается в момент:

(8.56).

где Кх — округленная остаточная продолжительность жизни, определяемая как целая часть от остаточной продолжительности жизни Тг Для рассмотренных непрерывных видов страхования (кроме чисто накопительного) существует дискретный аналог с выплатой страховой суммы в конце года смерти:

— для дискретного пожизненного страхования жизни:

(8.57).

— для «-летнего дискретного страхования жизни:

(8.58).

— для дискретного n-летнего смешанного страхования жизни:

(8.59).

— для дискретного пожизненного страхования жизни, отсроченного на к лет:

(8.60).

— для дискретного пожизненного страхования жизни с ежегодно возрастающей страховой суммой:

(8.61).

• [1] Фалин Г. И. Указ. соч.