Проецирование на две плоскости проекций

Обратимость чертежа, т. е. однозначное определение положения точки в пространстве по ее проекциям, может быть обеспечена проецированием на две непараллельные плоскости проекций.

Для удобства проецирования в качестве двух плоскостей проекций выбирают две взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 1.11). Одну из них принято располагать горизонтально — ее называют горизонтальной плоскостью проекций, другую — вертикально, параллельно плоскости чертежа. Такую вертикальную плоскость называют фронтальной плоскостью проекций. Эти плоскости проекций пересекаются по линии, называемой осью проекций.

Ось проекций разделяет каждую из плоскостей проекций на две полуплоскости, или полы.

Обозначим плоскости проекций: ?2 — фронтальную, ?, — горизонтальную, ось проекций — буквой x или в виде дроби ?2/?1^[1]. Плоскости проекций ?2 и ?, образуют систему ?2, ?,.

Плоскости проекций, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла, из которых приведенный на рис. 1.11 (с обозначениями граней ?2, ?1) считают первым.

В промышленности чертежи многих деталей выполняют также в системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей, пересекающихся по вертикальной оси проекций ? (рис. 1.12). При этом фронтальной плоскостью проекций оставляют также плоскость ?2, а перпендикулярную ей и обозначаемую ?3, называют профильной плоскостью проекций.

В системе двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций: горизонтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций;

Рис. 1.11.

Рис. 1.12.

фронтальной проекцией точки называют прямоугольную проекцию точки на фронтальной плоскости проекций.

Наглядное изображение построения проекций произвольной точки А в системе ?2, ?, показано на рис. 1.13. Горизонтальную проекцию, обозначенную А', находят как пересечение перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости ?, с этой плоскостью. Фронтальную проекцию, обозначенную А «, находят как пересечение перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости ?2, с этой плоскостью.

Проецирующие прямые ?? « и ?? перпендикулярные к плоскостям ?2 и ?, принадлежат плоскости ?. Она перпендикулярна плоскостям проекций и пересекает ось проекций в точке ??. Три взаимно перпендикулярные плоскости ?, ?2 и ?, пересекаются по взаимно перпендикулярным прямым, ?. е. прямые А «??, А ?? и ось ? взаимно перпендикулярны.

Построение некоторой точки А в пространстве по двум заданным ее проекциям — фронтальной А « и горизонтальной А ' — показано на рис. 1.14. Точку А находят в пересечении перпендикуляров, прове;

Рис. 1.13.

Рис. 1.14.

Рис. 1.15.

Рис. 1.16.

Рис. 1.17.

денных из проекции А" к плоскости ?2 и из проекции А ' к плоскости ?,. Проведенные перпендикуляры принадлежат одной плоскости ?, перпендикулярной плоскостям ?2 и ?, и пересекаются в единственной искомой точке А пространства.

Таким образом, две прямоугольные проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной системы взаимно перпендикулярных плоскостей проекций.

Рассмотренное наглядное изображение точки в системе ?2, ?, для целей черчения неудобно ввиду сложности. Преобразуем его так, чтобы горизонтальная плоскость проекций совпала с фронтальной плоскостью проекций, образуя одну плоскость чертежа. Это преобразование осуществляют (рис. 1.15) путем поворота вокруг оси ? плоскости ?, на угол 90° вниз. При этом отрезки ?? А «и ?? А ' образуют один отрезок А «Арасположенный на одном перпендикуляре к оси проекции — на линии связи. В результате указанного совмещения плоскостей ?2 и ?? получается чертеж — рис. 1.16, известный под названием эпюр^[2] или эпюр Монжа. Это чертеж в системе ?2, ?, (или в системе двух прямоугольных проекций). Без обозначения плоскостей ?2 и ?, этот чертеж приведен на рис. 1.17.

Гаспар Монж (1746−1818) — французский ученый, общественный и государственный деятель в период французской революции 1789−1794 гг. и правления Наполеона 1 [7]. Накапливавшиеся с древних времен сведения и приемы изображения пространственных форм на плоскости были приведены в систему и развиты в труде Г. Монжа, изданном в 1799 г. под названием Geometric descriptive (русский перевод (13)).

Начертательную геометрию в России начали преподаватьс 1810 г. Первые труды по ней опубликованы К.И. Потье (1816) и Я.А. Севастьяновым (1821). Большой вклад в развитие начертательной геометрии внесли многие русские и советские ученые (более подробные сведения приведены в книгах [4], [2], [17] и др.).

Проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций

В зависимости от сложности для полного выявления наружных и внутренних форм деталей и их соединений и для решения ряда задач бывают необходимы три и более изображений. Поэтому вводят три и более плоскостей проекций.

Введем в систему ?2, ?, третью вертикальную плоскость проекций (рис. 1.18), перпендикулярную оси ? и соответственно фронтальной и горизонтальной плокостям проекций. Ее называют профильной плоскостью проекций и обозначают ?2 (см. также рис. 1.12). Такую систему плоскостей проекций называют системой ?2, ?, ?3. В этой системе оси проекций ? и у являются линиями пересечения профильной плоскости проекций с фронтальной и горизонтальной. Точка О — пересечение всех трех осей проекций.

Схема совмещения трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций в одну плоскость чертежа показана на рис. 1.19. При этом ось у занимает два положения.

Наглядное изображение некоторой точки А, ее проекций А «, А А в системе ?2, щ, ?}, а также их координат приведены на рис. 1.20, ее чертеж — на рис. 1.21.

Профильной проекцией точки называется прямоугольная проекция точки на профильной плоскости проекций (например, проекция А'" на рис. 1.21).

Рис. 1.18.

Рис. 1.19.

Рис. 1.20.

Рис. 1.21.

Фронтальная и профильная проекции точки (А" и, А «') лежат на одной линии связи (А «Аперпендикулярной оси ?-

Профильную проекцию точки строят несколькими способами (рис. 1.21).

Через фронтальную проекцию проводят линию связи, перпендикулярную оси ?, и от оси г отмечают координату уа (отрезок/1 ??).

Это построение можно выполнить также с помощью дуги окружности, проведенной из центра О, или с помощью прямой, проведенной под углом 45° к оси у. Первый из указанных способов предпочтителен, как более точный.

• [1] Наряду с указанными обозначениями плоскостей проекций в литературе применяют и другие обозначения, например буквами V, Η, W.
• [2] Бриге (франц.) — чертеж, проект.