Давление и температура

Итак, газ самопроизвольно устанавливает одинаковую концентрацию молекул, а также давление и температуру, и отклонения от такого состояния маловероятны.

Состояние системы, при котором его параметры постоянны в пространстве и во времени, называется тепловым равновесием.

Казалось бы, при тепловом равновесии скорости (энергии) молекул также должны быть одинаковыми, но это не так. Некоторые из них в каждом из последовательных ударов отдают собственную энергию, снижая ее вплоть до нуля. Другие, наоборот, при каждом ударе получают приращение энергии вплоть до очень больших значений. Ясно, однако, что такие случаи редки, большинство молекул при ударах то отдает, то получает энергию и имеет скорости между очень маленькими и очень большими. Отсюда следует, что зависимость числа молекул, имеющих некоторую скорость, от ее модуля должна иметь некий колоколообразный вид.

От импульса молекул зависит и давление газа, рассчитанное Р. Клаузиусом. Расчет основан на сочетании основ МКТ и законов динамики и дает весьма яркий эффект.

На основании формул (1.35), (1.36) и (2.40) сила, действующая на стенку, перпендикулярную оси х, которая возникает вследствие удара одной молекулы, равна.

где v_x — х-компонент скорости молекулы при любых других у- и г-компонентах.

Оценим, сколько таких ударов об участок стенки площадью 1 м² произойдет за время At. Максимальное расстояние, с которого молекула, имеющая скорость v_x, успеет достичь стенки за время At, равно v_x.At (рис. 4.2). Следовательно, общее число ударов молекул, имеющих скорость v_x, за время At равно их числу в объеме цилиндра. Если их концентрация dn_v, то из них dn_r /2 движется в направлении оси х (см. рис. 4.2) и столько же в обратном направлении, т. е. dN_r = dn_vv_xAt/2, а давление, которое они оказывают:

Рис. 4.2.

Чтобы найти полное давление, нужно проинтегрировать это выражение по всем v_x;

где последнее выражение получено умножением и делением на 2п. В скобках имеем среднюю энергию поступательного движения по координате х. Поскольку v² = V² + v² + V², то, усредняя, получим v²_cp = v²_cp = v²_cp = v²_p/3,

TO.

где E — средняя энергия хаотического поступательного движения молекул. Давление (4.5) действует как на стенку, так и на любое тело внутри газа, со стороны одних частей газа на другие и т. д., т. е. это внутреннее давление газа, которое в соответствии с законом Паскаля одинаково по всем направлениям.

Формула (4.5) явилась весьма серьезным достижением МКТ. Она не только подтверждает экспериментально полученную связь р ~ п, но и расшифровывает понятие «температура» (лат. temperatura — смесь), которое долгое время было загадочным. Этот термин произошел от смешивания лекарств, которым приписывали тепловое действие.

Прообраз термометра изобрел еще Г. Галилей, а X. Гюйгенс и Р. Гук предложили постоянные точки его шкалы — температуры таяния льда и кипения воды. В XVII в. немецкий физик Д. Г. Фаренгейт (1686—1736) создал спиртовой и ртутный термометры, но что именно измеряет термометр, так и оставалось неизвестным. Термометры и до сих пор измеряют не саму температуру, а тот или иной термометрический параметру который от нее зависит, например объем столбика ртути или газа, т. е. измерения температуры относятся к косвенным измерениям. С другой стороны, непонимание физического смысла температуры не мешало ею пользоваться. Если при t ~ 39 °C человек болен, а при t ~ -39°С ртуть замерзает, то термометр полезен независимо от того, что означают его деления. Тут уместно высказывание русского философа и публициста Д. И. Писарева (1840—1868): «Иллюзии и слова гибнут, факты остаются». МКТ выявила важный факт в виде понимания смысла температуры!

Из сравнения формул (4.4) и (4.5) с уравнением (4.2) следуют соотношения.

Эти замечательные выражения свидетельствуют: абсолютная температура — это мера средней кинетической энергии молекул.

При Т = 0 Е_кср = 0, т. е. всякое движение молекул прекращается (много позже — в квантовой физике — выяснилось, что это не так).

Выражения (4.6), (4.7) позволяют также сопоставить энергию движения молекул, но разным направлениям. Вообще, число i независимых друг от друга движений любого тела (его независимых координат) называется числом его степеней свободы. Например, одноатомная молекула, рассматриваемая как частица, имеет три степени свободы — по трем, например декартовым, координатам. Как следует из формулы (4.6), на каждую из них приходится средняя энергия кТ/2. Если молекула двухатомная (подобна гантели), то ее центр инерции может перемещаться по тем же трем независимым координатам, а положение оси, соединяющей атомы, может быть задано двумя углами, которые определяют ее вращательные степени свободы. Итого i = 5. Если еще и расстояние между атомами может изменяться (подобно растяжению-сжатию), то добавляются колебательные степени свободы и т. д. Во всех случаях выполняется общий принцип (он проявился уже в формулах (4.6), (4.7) для поступательного движения), установленный Клаузиусом и выдающимся британским физиком Дж. Максвеллом (1831 — 1879), основателем известной Кавендишской лаборатории в Кембридже: средняя энергия равномерно распределяется между степенями свободы, на каждую из которых приходится энергия кТ/2.

Исключение составляет колебательная степень свободы, в которой присутствуют два независимых друг от друга вида энергии — кинетическая и потенциальная, и потому на нее приходится средняя энергия кТ. Итак,.

Механизм равнораспределения энергии по степеням свободы состоит в том, что молекулы путем столкновений перекачивают энергию с тех степеней свободы, где она почему-либо оказалась больше, к тем, где она меньше. Например, поток молекул внутри газа постепенно рассеивает энергию однонаправленного движения по другим степеням свободы.