Задача выбора портфеля активов

Предположим, что агенту доступны лишь два актива, между которыми он может распределить свое богатство, равное w. Первый актив — безрисковый: вложив единицу в этот актив, агент получит единицу обратно, т. е. чистая доходность по данному активу равна нулю. Второй актив — рисковый, и валовая доходность этого актива является случайной величиной 2, имеющей функцию распределения F (z). Будем считать, что ожидаемая валовая отдача на рисковый актив превышает валовую доходность по безрисковому активу . Обозначим через, а вложения в рисковый актив. Тогда вложения в безрисковый составят . Таким образом, портфель () имеет валовую доходность, равную . Будем считать, что агент имеет возможность эмитировать безрисковый актив, т. е. мы не будем требовать неотрицательности спроса для безрискового актива. Вопрос в том, как агент, предпочтения которого представлены функцией ожидаемой полезности, распределит богатство между этими двумя активами.

Запишем задачу максимизации ожидаемой полезности:

Условие первого порядка для оптимального уровня вложений в рисковый актив имеет вид.

и если

Покажем, что не может быть равным 0 (т.е. агент предъявляет положительный спрос на рисковый актив). Действительно, в точке имеем.

Поскольку , ожидаемая отдача на рисковый актив превышает отдачу по безрисковому активу () и по определению функции распределения . Но согласно условию первого порядка должно выполняться соотношение Таким образом, мы пришли к противоречию, и, следовательно, , т. е. несклонный к риску агент будет инвестировать в рисковый актив.