Генеральная и выборочная совокупности

В результате изучения материала главы 2 обучающийся должен:

знать

• • основные понятия генеральной и выборочной совокупностей;
• • методы оценивания, виды и свойства оценок параметров генеральной совокупности;
• • основные методы статистической проверки гипотез относительно параметров одномерной и многомерной генеральных совокупностей;

уметь

• • находить по выборочным данным оценки параметров одномерной и многомерной генеральных совокупностей;
• • анализировать свойства параметров;
• • проверять гипотезы относительно параметров и вида распределения генеральной совокупности;
• • сравнивать параметры нескольких генеральных совокупностей;

владеть

• • навыками статистического оценивания параметров одномерной и многомерной генеральных совокупностей;
• • навыками проверки гипотез относительно параметров и вида распределения генеральной совокупности при проведении социально-экономических исследований с использованием аналитического программного обеспечения.

Распределение генеральной совокупности

Вероятностно-статистические методы анализа данных предполагают, что закономерности, которым подчиняется исследуемая переменная (случайная величина), полностью определяются комплексом условий ее наблюдения. Математически эти закономерности задаются соответствующим законом распределения вероятностей. Однако при проведении статистических исследований более удобным является понятие генеральной совокупности.

Таким образом, математические понятия «генеральная совокупность», «случайная величина» и «закон распределения вероятностей», соответствующие данному комплексу условий, можно считать в определенном смысле синонимами.

Генеральной совокупностью называют множество всех мыслимых наблюдений, которые могли бы быть произведены при данном комплексе условий [4, 28].

Поскольку в определении речь идет о мысленно возможных наблюдениях (или объектах), то генеральная совокупность есть понятие абстрактное, и ее не следует смешивать с реальными совокупностями, подлежащими статистическому исследованию. Так, обследовав даже все предприятия подотрасли, мы можем рассматривать их как представителей гипотетически возможной более широкой совокупности предприятий, которые могли бы функционировать в рамках комплекса условий.

Генеральная совокупность может быть как конечной, так и бесконечной. Конечная совокупность имеет место, например, при обследовании семейных бюджетов, когда выборка берется из совокупности семей, фактически имеющихся в стране. Затем осуществляются наблюдения за доходами и расходами отобранных семей. Бесконечная генеральная совокупность наблюдается, например, в научных исследованиях, когда нас интересует средний результат большого числа экспериментов.

В простейшем случае генеральная совокупность есть одномерная случайная величина х с функцией распределения , которая определяет вероятность того, что х примет значение, меньшее фиксированного действительного числа .

В общем случае изучаются генеральные совокупности, включающие несколько признаков (обычно более двух). Рассматриваемое множество признаков обозначается вектором , имеющим k компонент, каждая из которых характеризует соответствующий признак. Для анализа вектора X используются многомерные статистические методы [13, 30].

Таким образом, объектом исследования в многомерном анализе является случайный вектор X, или случайная точка в ft-мерном евклидовом пространстве, система к случайных (одномерных) величин, ft-мерная случайная величина

Функцией распределения случайного вектора называется детерминированная неотрицательная величина, определяемая по формуле.

где -мерный вектор фиксированных действительных чисел.

Детерминированная неотрицательная величина F (X) обладает следующими свойствами:

• • F (X) = 0, если среди , хотя бы одна компонента равна ;
• • F (X) = 1, если все компоненты вектора X равны ;
• • F(X) удовлетворяет условию вычисления вероятности попадания случайной точки в k-мерный параллелепипед с плоскостями, параллельными координатным осям.

Различают:

• • непрерывные k-мерные случайные величины, все компоненты которых — непрерывные (одномерные) случайные величины;
• • дискретные k-мерные случайные величины, все компоненты которых — дискретные случайные величины;
• • смешанные k-мерные случайные величины, среди компонент которых есть как дискретные, так и непрерывные случайные величины.

Функция распределения F (X) для непрерывной k-мерной случайной величины является непрерывной по определению.

Плотность распределения вероятностей непрерывной k-мерной случайной величины удовлетворяет условию.

Плотность f (X) обладает следующими свойствами:

• площадь, ограниченная сверху графиком плотности, всегда равна единице:

где через k обозначено общее число (кратность) интегралов;

• вероятность попадания точки () в какую-нибудь область G равна

Из определения плотности следует, что если проинтегрировать совместную плотность распределения двух величин х1, х2 по одной, например в бесконечных пределах, то получим плотность распределения вероятностей другой величины :

Аналогично имеем.

Плотности вероятностей, функции распределения подсистем , случайных величин системы к случайных величин называют частными или маргинальными распределениями [21].

Условными распределениями случайного вектора X называются распределения подсистемы , его компонент при условии, что остальные компоненты являются фиксированными. Эти компоненты будут отделяться от нефиксируемых косой чертой.

Для непрерывной случайной величины справедливы, например, формулы, определяющие плотность условного распределения двумерной случайной величины (), являющейся подсистемой системы ( ) при условии, что в ней фиксированы три последние компоненты:

где

Подсистема , компонент и дополнительная подсистема компонент вектора X называются независимыми (стохастически, вероятностно), если справедливо равенство.

В частности, компоненты вектора X называются независимыми, если.

В случае независимости справедливы аналогичные формулы для произведений плотностей или вероятностей маргинальных распределений и совпадение условных распределений с соответствующими маргинальными (23].