Характеристики многомерной генеральной совокупности

Одним из важнейших результатов применения многомерного статистического анализа является вывод о параметрах или характеристиках генеральной совокупности [4, 13]. Дадим определение основным генеральным характеристикам. Функция является одномерной случайной величиной, если она вещественна, однозначно определена во всех точках ( — k-мерное евклидово пространство), за исключением точек множества нулевой вероятности. Функция распределения для нее вычисляется по формуле.

Нетрудно получить свойства математического ожидания исходя из определения математического ожидания функции:

где  — случайные величины;  — детерминированные величины;  — для взаимно независимых случайных величин

Моментом l-го порядка, где , случайного вектора X относительно постоянного вектора С называется.

Если , то моменты называются начальными, если центральными.

На практике бывает достаточно ограничиваться моментами до второго порядка включительно. Приведем названия, обозначения и формулы некоторых моментов:

• —  начальный момент l-го порядка, математическое ожидание /-й степени j-й компоненты вектора Х;
• —  начальный смешанный момент второго порядка.

Ковариацией называют центральный смешанный момент второго порядка между i-й и j-й компонентами вектора , при

При имеем.

где  — дисперсия j-й компоненты вектора , есть центральный момент второго порядка,

Ковариационной матрицей случайного вектора X называется матрица.

Ковариационная матрица определяется как математическое ожидание произведения центрированного случайного вектора на этот же транспонированный вектор:

Нетрудно заметить, что она симметричная и на ее главной диагонали находятся  — дисперсии k-х компонент вектора X. Покажем, что неотрицательно определена.

Пусть ', где с — любой детерминированный вектор. Тогда дисперсия (по определениям математического ожидания и дисперсии) будет равна.

Коэффициентом корреляции, или коэффициентом парной корреляции, называют ковариацию нормированных случайных величин:

(2.1).

где  — средние квадратические отклонения случайных величин и .

Коэффициентом детерминации называют квадрат коэффициента корреляции. Он характеризует долю вариации одной величины, обусловленную влиянием другой.

Для любых случайных величин и с учетом формулы (2.1) справедливо соотношение.

Поэтому коэффициент корреляции лежит в пределах . Причем при и связаны линейной функциональной зависимостью. Если же то и некоррелированы, т. е. линейно независимы.

Корреляционной называется матрица.

которая симметрична и неотрицательно определена.

Выше были даны некоторые параметры связи между двумя компонентами случайного вектора — ковариация и коэффициент корреляции. Эти параметры, не являясь непосредственно измерителями связи в случае, когда размерность к вектора X больше двух, играют важную вспомогательную роль при вычислении действительных показателей связи между признаками генеральной совокупности и в образовании различных моделей многомерного статистического анализа [27].

Зависимость между компонентой и остальными компонентами ( ) вектора X можно изучать с помощью представления.

где  — некоторая функция компонент  — остаточный член, случайная величина с Функцию называют уравнением регрессии компоненты x1 на компоненты

Наиболее часто в качестве уравнения регрессии берут функцию минимизирующую математическое ожидание квадрата отклонения:

Для отыскания такой функции рассмотрим тождество.

Возведем обе части тождества в квадрат и возьмем математическое ожидание правой и левой частей нового тождества. Так как.

то будем иметь.

В правой части последнего тождества от неизвестной функции зависит только второе слагаемое, которое как неотрицательная величина достигает минимального значения, равного нулю, при.

Регрессия, являющаяся условным математическим ожиданием g, = = М(х,/х2 X/.), называется средней квадратической регрессией х, на х2, Хк'

В дальнейшем для краткости будем опускать слова «средняя квадратическая», но рассматривать следует именно указанную регрессию.

Показателем, характеризующим рассеяние случайной величины х, около поверхности регрессии .г, на х2, хк, является остаточная дисперсия регрессии х, на х2,… хк.

Назовем дисперсией регрессии (факторной дисперсией) случайной величины л, на х2,… xk детерминированную величину.

Справедлива следующая формула о разложении дисперсии величины хр где

Мерой зависимости между величинами х, и х2,…, хк служит отношение.

показывающее долю рассеяния величины xt, обусловленную функциональной зависимостью х, от остальных компонент. Это отношение можно представить в виде.

(2.2).

В качестве показателей зависимости иногда рассматривают корреляционное отношение, равное корню квадратному из выражения (2.2).

Заметим, что при функциональной зависимости X] от х2,…, хк имеют место тождество е,(л'|, Л'2,. .хк) = 0 и корреляционное отношение Т|Л| =1. Если же гц = 1, то Ц) ст «= 0. Если х, не зависит от х2,…, хк, то М (х,/х2 хк) = Мх{ и ц х = 0. Если же ц = 0, то нельзя утверждать, что х{ и х2 хк - независимые случайные величины. Если имеет место равенство.

то говорят, что уравнение регрессии Xj на х2, … хк линейно, и называют коэффициентами регрессии х, на х (.

Коэффициент регрессии показывает, на сколько единиц (своего измерения) изменится в среднем результативный признак х1: если факторный признак X/ увеличить на единицу (своего измерения) при условии, что остальные факторные признаки (аргументы) не меняются.

Показателем меры линейной зависимости xt от х2,… л* служит множественный коэффициент корреляции или его квадрат — коэффициент детерминации, определяемый по формуле.

Можно показать, что в случае линейной зависимости, т. е. когда.

справедливо равенство.

Частным коэффициентом корреляции между компонентами xt и х2 (по отношению к остальным k — 2 компонентам) называют величину.

где /?, 2 — алгебраическое дополнение элемента, находящегося на пересечении первой строки и второго столбца корреляционной матрицы R.

Частный коэффициент корреляции измеряет тесноту связи между д'| и х2 после устранения влияния величин х3,…, хк.

Можно показать, что при к = .3 частный и множественный коэффициенты корреляции определяются через парные коэффициенты корреляции соответственно по формулам