Принятие решений в вероятностных условиях

В логистике события, величины и процессы зачастую не имеют детерминированного характера. В них большую роль играют две особенности: массовый характер и случай. Например, по разным причинам дневной товарооборот магазина в один день почти никогда точно не совпадает с товарооборотом в другой. И потому практически невозможно определить его заранее. Но если отследить дневной товарооборот склада в течение некоторого промежутка времени, можно установить частоту определенных величин продаж (дневного товарооборота).

Работникам логистики приходится принимать решения, касающиеся не только детерминированных величин или принимаемых за них, но и касающиеся случайных величин, характеризующихся не единственным значением, а распределением вероятностей. В ходе своей деятельности им приходится выдвигать и проверять гипотезы в отношении различных величин.

В качестве примера рассмотрим условную ситуацию, которая поможет понять, как принимаются решения в вероятностных условиях.

Директор склада, ответственный за продажу материальных ресурсов, утверждает, что 40% лиц, посетивших склад, приобретают товар, а средняя величина одной покупки составляет 55 руб. По распоряжению директора на складе осуществлялось выборочное наблюдение за 90 посетителями. Оказалось, что 50 из них совершили покупки, стоимость каждой из которых установлена была по чекам. А потом была подсчитана общая сумма, составившая 3000 руб. Было также определено среднее квадратическое отклонение, равное 15 руб. Возникает вопрос: можно ли считать, что утверждение директора склада неточно при 5%-ном уровне значимости?

Директор склада высказал два утверждения:

• 1) количество посетителей магазина, совершивших покупки, составляет 40%;
• 2) средний размер покупки составляет 55 руб.

Будем считать оба эти утверждения гипотезами, высказанными относительно характера торгового процесса в магазине. Для их проверки воспользуемся данными выборочного наблюдения. Они могут быть представлены следующим образом:

где H₀₁ — число лиц, посетивших склад; Н₀₂ — средняя величина покупок (руб.).

Идеальным доводом в пользу этих гипотез было бы установление факта, что разность между принятыми значениями параметров и значениями, полученными на основании выборки, равна нулю. Поэтому гипотезы в записанной выше форме называются нулевыми.

Еще до проверки мы можем предположить, что названные разности не окажутся нулями, а будут от них отличаться. Естественно также предположить, что это отличие выборочных значений характеристик от принятых параметров может быть настолько малым, что мы смогли бы игнорировать эту разницу. С другой стороны, столь же естественно считать, что с ростом названной разницы наше предположение о том, что выборка не опровергает наши предположения, будет становиться все более сомнительным. Так как в первом случае, даже при не нулевой разности, мы приравниваем ее к нулю, а во втором случае считаем ее отличной от нуля, то задачей проверки гипотезы будет определение, существенно ли разность отличается от нуля.

Для решения вопроса о значимости разности измерений (принятого значения параметра и получаемого на основании выборки) необходимо соотнести эту разность со средней квадратической ошибкой средней арифметической выборки. Из условия задачи известно, что средняя квадратическая ошибка выборки составляет S = 15, объем выборки — 50 посетителей, совершивших покупки, объем генеральной совокупности — все покупатели, посещающие магазин. Принимаем, что генеральная совокупность бесконечна. Тогда средняя квадратическая ошибка среднего арифметического равна.

где п — объем выборки.

Процедура проверки гипотезы заключается в следующем.

1. Пересчет выборочной средней в центрированную и нормированную величину.

Смысл этого вычисления заключается в следующем: средняя выборка выражена как отклонение от гипотетической средней х — ц_н и разделена на среднее квадратическое отклонение средней арифметической выборки, т. е. выражена в единицах этой ошибки. Среднее выборки преобразовано в безразмерную величину 2,33, которая означает, что среднее выборки отклоняется от гипотетического среднего генеральной совокупности на 2,33 единицы средней ошибки.

Так как объем выборки достаточно значителен (составляет 50), есть основание предположить, что случайная величина покупок распределена нормально. Для формально распределенных случайных величин построены таблицы их отклонений от среднего арифметического (нуля), выраженные в единицах средних квадратических отклонений.

2. Выбор уровня значимости, т. е. такого процентного числа (обычно 5- или 1%-ного), при котором 5% (соответственно 1%) статистики выборки (в нашем случае количество средних покупок) оказывается в области непринятия гипотезы. Принимая во внимание нормальность распределения, можно построить график (рис. 2.4).

Рис. 2.4. Проверка гипотезы.

Принятие 5%-ного уровня значимости предполагает, что площадь под кривой разбивается на три части: посередине располагается часть площади величиной 0,95, симметрично по отношению к ней располагаются «хвосты» распределения. Каждый из них имеет площадь 0,025, а вместе они составляют 0,05, что и соответствует принятому уровню значимости. Вертикальные прямые, отделяющие эти площадки от основной, находятся на расстоянии 1,96 среднего квадратического отклонения. Эту величину — нормированного z — находим по таблицам после выбора уровня доверия. Значение г = ± 1,96 является критической величиной для двусторонней проверки при 5%-ном уровне значимости.

• 3. Сравнение z, вычисленного по статистике (выборке) с критическим значением по таблице z-распределения. Сопоставление в нашем примере дает: |2,33| > |± 1,961. Модуль вычисленного значения по выборке оказался больше модуля критического значения по таблице.
• 4. Интерпретация сравнения. Создавшееся положение можно представить графически (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Графическое представление создавшегося положения

Доля выборочных средних, ограниченных критическими пределами (z = ±1,96) при проверке с 5%-ным уровнем значимости, равна 0,95. Доля выборочных средних вне этих пределов равна 0,05. Первая область называется областью принятия гипотезы (при заданном уровне значимости), вторая — областью непринятия гипотезы. Вычисленное по выборке значение z = 2,33 оказалось больше критического, оно попадает в область непринятия гипотезы. В связи с этим нет оснований считать, что выборка подтверждает высказывание директора магазина относительно величины средней покупки (55 руб.) при принятом уровне значимости.

Утверждение директора относительно покупательской активности посетителей магазина было представлено в виде подлежащей проверке нулевой гипотезы Н_0]: g = 0,40.