Измерение тесноты связи

Часто приходится рассматривать сведения не об одном показателе, а брать их во взаимосвязи и пытаться понять, есть взаимосвязь между показателями или нет. В этом случае один показатель рассматривается как фактор и обозначается х, а другой — как результат и обозначается у.

В том случае, если х и у — количественные переменные, то связь между ними может измеряться коэффициентом парной корреляции. Это симметричная мера, т. е. г^ = г_ух. Коэффициент корреляции может быть, как меньше нуля, < 0 — в случае обратной связи (рис. 3.5, А), так и больше нуля, г_ху> 0 — в случае прямой связи (рис. 3.5, В). По абсолютной величине коэффициент корреляции изменяется от нуля до единицы: чем ближе значение к единице, тем теснее связь между х и у. Для выяснения наличия и характера связи строится поле корреляции, т. е. поле точек: каждая точка соответствует наблюдению, координаты соответствуют значениям переменных х и у.

Рис. 3.5. Поле корреляции пз Если корреляция отсутствует, то точки на поле корреляции будут расположены хаотично, (рис. 3.5, С).

Рассмотрим расчет коэффициента корреляции на примере измерения взаимосвязи между затратами на рекламу и прибылью в сетях кофеен формата «Кофе с собой». В табл. 3.5 приведены данные для расчета.

Таблица 3.5

Исходные данные.

Построим поле корреляции по приведенным выше данным. На рис. 3.6 видно, что в данном случае связь между затратами на рекламу и прибылью прямая: в среднем с ростом затрат на рекламу наблюдается рост прибыли.

Рис. 3.6. Поле корреляции: затраты на рекламу и прибыль.

Измерение корреляционной связи основано на отклонении от средних по одной и другой переменным (т.е. на ковариации). В случае линейной связи теснота связи между х и у измеряется с помощью коэффициента парной корреляции:

где х, — значение факторного признака для i-ой кофейни; у_{ — значение результативного признака для i-й кофейни; х — среднее значение признака-фактора; у — среднее значение результативного признака.

Разделив числитель и знаменатель на п — число наблюдений, получим

На основе данных табл. 3.5 рассчитаем коэффициент парной корреляции между затратами на рекламу и прибылью:

Полученное значение коэффициента корреляции показывает, что связь между затратами на рекламу и прибылью является прямой и заметной, так как |г| > 0,6.

Интерпретация значений коэффициента корреляции в соответствии с его значениями дается на шкале Чеддока: если коэффициент корреляции находится в интервале от 0,1 до 0,3, то связь считается слабой; 0,3—0,5 — умеренной; 0,5—0,7 — заметной; 0,7—0,9 — высокой; 0,9— 0,99 — весьма высокой.

Квадрат коэффициента корреляции г² представляет собой коэффициент детерминации. Коэффициент детерминации часто более предпочтителен для измерения связи, так как он может быть использован для измерения не только линейных, но и нелинейных связей. Коэффициент детерминации может быть выражен в процентах. В рассматриваемом примере г² = 0,422, или, иначе говоря, на 42,2% прибыль кофеен зависит от затрат на рекламу.

В примере рассмотрено только семь кофеен, т. е. выборка — малая. Поэтому нужно проверить, что полученное значение коэффициента корреляции неслучайно.

В генеральной совокупности коэффициент корреляции обозначается р.

Проверим гипотезу, что в генеральной совокупности корреляция не отличается от нуля:

Н₀ — нулевая гипотеза, которая проверяется с доверительной вероятностью 95%.

Проверка нулевой гипотезы проводится с помощью t-критерия:

t-статистика подчиняется распределению Стьюдента со степенями свободы df=n — 2.

Для проверки гипотезы нужно установить уровень значимости, а = 0,05, или 5% (доверительная вероятность 95%).

Рассчитаем значение t-статистики:

Табличное значение равно г_табл =2,306 (d/ = 7- 2 = 5, а = 0,05). Поскольку Ц_ак1 > t_Ta6jl, нулевая гипотеза Н₀ отклоняется.

Таким образом, наблюдаемая корреляция является статистически значимой, т. е. затраты на рекламу и прибыль — действительно взаимосвязанные переменные.

Использование t-критерия для проверки значимости коэффициента корреляции предполагает, что объем выборки достаточно велик. При сравнительно небольших объемах выборки (до 30 ед.) и г > 0,4 рекомендуется применить z-преобразование:

и перейти от значения коэффициента корреляции к значению величины z. Если справедлива нулевая гипотеза Н₀ о незначимое™ коэффициента корреляции между переменными х и у, то z-преобразование имеет приближенно стандартное нормальное распределение. Поэтому если, а — заданный уровень значимости критерия и U _а — квантиль.

• 1₂
• 1 ^а

порядка 1-— стандартного нормального распределения, то нулевая гипотеза Н₀ принимается при выполнении неравенства |z| <U _а. В про;

~ 2

тивном случае гипотеза Н₀ отклоняется и принимается альтернативная гипотеза значимости коэффициента корреляции между хиу.

Использование метода измерения корреляции более подробно рассмотрено в главе 6. Еслих иу можно поставить в отношение «причина — следствие», то возможно построить уравнение зависимости у от х.

Парное уравнение линейной регрессии будет иметь вид у = а+Ьх, где а — свободный член, а b — коэффициент регрессии, который показывает, на сколько единиц в среднем изменяется результат при изменении фактора на одну единицу. Величины а и b называются параметрами уравнения регрессии.

Для расчета параметров уравнения регрессии можно воспользоваться функцией «анализ данных, регрессия» в пакете Microsoft Excel.

По данным рассматриваемого примера получаем уравнение^=6394 + + 7,05х. Таким образом, с увеличением затрат на рекламу на 1 тыс. руб. прибыль растет в среднем на 7,05 тыс. руб.