Оценка стабильности частотных стандартов

ДИСПЕРСИЯ АЛЛЕНА

Относительная нестабильность современных стандартов частоты оценивается во временной области по функции двухвыборочной дисперсии Аллена, определяемой как.

где у/(х), У1₊1 (т) — средние значения частоты на смежных интервалах времени длительностью т секунд, с нулевым «мертвым временем» т_м = 0 между ними [100, 101] (рис. 16.1). Угловыми скобками обозначено статистическое среднее по ансамблю пар измерений, которое в эксперименте заменяется усреднением во времени. Оценка стабильности частоты высокостабильных систем осуществляется по методике, основанной на измерении разностной частоты двух стандартов частоты. Поскольку стандарт частоты — это высокостабильный генератор радиочастотного или оптического диапазона, далее будем использовать обобщенный термин «генератор».

Рис. 16.1. Диаграмма приращений частоты (разреженная упаковка со случайным интервалом между парами).

Измерительная установка содержит два идентичных генератора и устройство выделения разностной частоты. Если разностная частота Ду = у₂ — V] в среднем равна нулю, то для удобства измерения ее необходимо перенести на выбранную несущую частоту F в радиодиапазоне. Это реализуется с помощью дополнительного генератора — гетеродина. Для схемы с лазерами смешение оптических частот осуществляется фотоприемниками, а перенос на промежуточную частоту гетеродинным лазером с системой ФАП [102]. При этом частота третьего лазера с точностью до ВЧ-компонснты (т. с. в ограниченном спектре частот) равна частоте второго лазера с заданной добавкой: ^у3 ^{= +} Р «^а измерению подлежит частота биений между первым и третьим лазерами: у = >з — У| = ^ + Ду. В последнее время резко возрос интерес к значениям оценки (16.1) за интервалы тє[10 …10°]с. Частотомеры для этих целей рассмотрены в предыдущем разделе. В настоящем разделе обсудим проблемы обработки и трактовки получаемых результатов.

Основные проблемы возникают при т"0,01 с и при т «1000 с: в обоих случаях значение функции Аллена возрастает. Это послужило причиной распространения мнения о том, что одна из асимптот значения функции Аллена всех или большинства реальных генераторов, соответствующих т —» 0 и т—"со, либо обе возрастают неограниченно. Так, Рютман пишет: «График ст^(т) в двойном логарифмическом масштабе состоит из отрезков прямых, наклон которых легко определить… Для частотного фликкер-шума ст^.(т) не зависит от т; соответствующий участок на графике часто называют фликкеруплощением… Для конкретного генератора ст^(т) представляет собой сумму двух или трех членов. Так, атомные стандарты на цезиевом пучке часто удовлетворительно моделируются с использованием выражения.

Причем величины /?₀ и /;_1 можно определить поданным измерений а" (т),.

если т измеряется в достаточно широких пределах" [99].

Здесь Рютман ошибочно вводит в модель шума генератора возрастание зависимости, объясняющееся ростом погрешности метода измерения. Поскольку т стоит в знаменателе, функция (16.2) возрастает при т —> 0 неограниченно. Это не может относиться к шуму генератора, так как спектр частотного шума ограничен по частоте. Термин «частота» корректен только для случайного узкополосного процесса, т. е. процесса с ограниченным спектром [37].

Далее Рютман указывает на проблему, связанную с гармонической помехой: «Даже в наилучших источниках имеет место частотная модуляция паразитными синусоидальными сигналами. Хотя рассмотренные выше показатели стабильности разработаны в расчете на случайные процессы, синусоидальные нестабильности оказывают влияние на них… Таким образом, если т равно периоду модулирующего сигнала Т_т = или одной из его гармоник, то влияние синусоидальной ЧМ отсутствует, поскольку эффект модуляции полностью компенсируется за счет усреднения. Наихудший случай получается, когда т близко к Т_т /2 или к периоду одной из соответствующих гармоник… На практике это означает, что если не учитывать связь между экспериментальными значениями т и ожидаемой величиной Т_т, то может иметь место некоторый разброс данных из-за осциллирующего характера выражения (5.16)» [99]. Здесь (5.16) — выражение для (т) следующего вида:

а частота V изменяется около среднего значения '₀ с амплитудой девиации Ду и с частотой девиации /_т по гармоническому закону, который для ее относительного приращения у (у) = у (/) / у^ имеет вид.

Выражение для гармонической помехи дано в работе [99] этим уравнением. Иначе говоря, возможность присутствия гармонической помехи признается. Фаза этой помехи в уравнение не вводится, т. е. полагается равной нулю. Это не то же самое, что считать ее случайной величиной, изменяющейся от измерения к измерению и потому в расчет не принимаемой.

Далее Рютман пишет: «Линейный уход частоты приводит к зависимости вида т⁺¹ для корня квадратного из двухвыборочной дисперсии. Такая зависимость наблюдается при больших значениях т, когда перед статистической обработкой не исключен линейный уход частоты» [99]. Подъем этой функции с возрастанием т однозначно увязан с линейным уходом частоты и указывает на необходимость устранения этого ухода. Это второе противоречие. С одной стороны, допускается наличие гармонической помехи и указывается, что при неблагоприятном соотношении частот (а именно при кратности измерительного интервала и частоты помехи) эта помеха может сильно исказить результат статистической оценки. С другой стороны, не дается рекомендаций, как избежать этого искажения. Нспрскращающссся возрастание дисперсии Аллена (16.1) с увеличением времени вопреки указанному искажению ошибочно объясняется лишь линейной регрессией.

Третье противоречие состоит в том, что если стандарт частоты имеет линейную регрессию частоты, то следует оценить и указать либо пределы допустимых изменений этой частоты, либо временные рамки для указанной регрессии. В противном случае частота, изменяясь непрерывно с постоянной скоростью в одном направлении, может достичь любого значения, что, разумеется, не бывает ни в одном реальном генераторе. Указание на непрекращающуюся линейную регрессию говорит о недостаточном исследовании статистики генератора по непредставительному интервалу времени. На средних значениях т Рютман ожидает получение плоского участка, что хорошо согласуется с экспериментом.

Опыт изучения частотных шумов генератора и разработки аппаратуры для их измерения позволяет удостовериться в справедливости указания на эти противоречия. Можно утверждать следующее.

• 1. Подъем получаемой оценки функции Аллена с уменьшением т связан с аппаратной погрешностью цифрового измерителя частоты (см. соотношение (15.4)). Дисперсия Аллена описывается ниспадающей асимптотой при т —> 0, а не возрастающей. Поскольку погрешность измерения оценки (16.1) с уменьшением т неминуемо растет, следует стремиться выявить и указать асимптоту хотя бы по нескольким точкам, а дальнейший сс ход может быть дан аналитическим путем.
• 2. Подъем функции Аллена с возрастанием т не всегда связан с линейной регрессией, а может порождаться недостаточной статистикой за большие интервалы времени т, некорректным взятием отсчетов и периодической частотной модуляцией исследуемых генераторов. В сочетании два последних фактора могут дать существенную величину ошибки при кратности частоты помехи и частоты взятия отсчетов.

Периодическая частотная модуляция возникает из-за помехи питающей сети, акустических шумов, колебаний фундамента, суточных температурных колебаний и по иным причинам.

Для обоснования выдвигаемых тезисов рассмотрим методику получения данных и их обработки.