Методы оптимизации решений для риск-менеджмента с помощью экстремальных задач

В отличие от двух предыдущих параграфов рассматриваемые здесь задачи уже будут связаны с наилучшими альтернативами, что часто требует предварительной математической постановки и решения задач по поиску экстремальных (наименьших и наибольших) значений выбранного критерия Z=f (X) =/(х_v x₂, …, x_m). Однако до того как приступить к непосредственному рассмотрению правил формулирования и решения подобных задач, приведем ряд минимально необходимых сведений из функционального анализа.

Под функцией у =/(Х) здесь следует подразумевать выражение, устанавливающее однозначное соответствие между аргументами (в общем случае — это вектор X = (х_1; х₂, …, х_т)) и скалярным значением его левой части. При этом функция вида у = Ах, удовлетворяющая условиямy (Xj + х₂) = у (х,) +y (x₂);y (fcx) = ку (х), называется линейной, а у=/(Ах хх) + Вх (где к — константа, а, А и В — постоянные величины или квадратные матрицы) — квадратичной. Кроме того, каждая функция имеет области: а) определения U — все значения аргументов, для которых возможно ее вычисление; б) значений Z — все те скалярные величины, которые она принимает для аргументов х_; (г = 1, 2, 3, …, т) из области определения U, имеющей размерность R'". При этом для выпуклой функции любой отрезок между двумя ее точками в пространстве R" ¹ также принадлежит этой области.

Производной /'(X) от функции называется набор соотношений между каждой точкой из области ее определения U и касательным вектором в этой же точке:/'(X) = (df/dx_v df/dx₂, …, df/dx_m), а ее первый и второй дифференциалы могут быть представлены соответственно следующими двумя математическими выражениями: df = f'(X)dX и d²f=f" (X)dX².

При исследовании функций на экстремум оперируют так называемыми особыми точками х₀, выделяя среди них: 1) критические, у которых Д (х₀) равна нулю либо не существует, хотя/(х₀) определена; 2) граничные, т. е. принадлежащие границе области определения U. А вот среди условий принятия функцией ДХ) экстремального значения (локального или глобального) принято выделять необходимое (х₀ всегда должна быть критической) и достаточное (х₀ является внутренней точкой и второй дифференциал d²/(x) в ней должен быть определенным). При этом если d²f_Xo положительно определен, то х₀ соответствует минимуму функции: Дх₀) < Дх₀ + Дх); когда же d²fx₀ отрицательно определен, то ее максимуму: Дх₀) > Дх₀ + Дх), для любых Дх. Для поиска экстремума в вырожденных случаях, т. е. когда х₀ лежит на границе области U или d²f _{Х ()} = 0, требуются дополнительные исследования.

Важное место в принятии оптимальных решений в интересах рискменеджмента с помощью экстремальных задач принадлежит их корректной постановке, что предполагает применение следующих основных понятий и характеристик:

• а) критерий оптимизацииу= f (x_vx₂,…, х) —> min (max) означает стремление какой-либо сложной характеристики ОТУ и ОПО в целом к экстремальному (минимальному или максимальному) значению;
• б) целевая функция/Дх_р х₂, …, х_т) связывает данный критерий с переменными X этих объектов из области определения U; при этом часть таких переменных должна являться оптимизируемыми параметрами, т. е. теми, варьирование которых может обеспечить экстремум функции в области ее значений Z;
• в) ограничения g_u(x_p х₂, …, х_т) уже являются теми функциями некоторых переменных X, которые устанавливают возможный диапазон реального изменения их значений в области определения таким образом, чтох™" ¹ <�х, < Xj^max, х™^п < х₂ < х₂'^ах,…, х™^т < х_т < х_п^^ах.

Общая же последовательность отыскания оптимальных решений с помощью экстремальных задач включает циклически повторяющиеся шаги:

• 1) сбор и обработка информации о параметрах и показателях, характеризующих реальную ситуацию (свойства конкретного ОПО и его ближнего окружения), — определение векторов состояний рассматриваемого объекта;
• 2) сравнение действительных характеристик исследуемого ОПО с их требуемыми значениями — выявление рассогласования между векторами его текущего и желаемого состояний;
• 3) оценка необходимости вмешательства в сложившуюся ситуацию — сопоставление величины рассогласования между реальными и приемлемыми параметрами выбранного объекта;
• 4) выявление факторов и свойств ОПО, требующих принятия решения, и поиск способа его осуществления — определение оптимизируемых параметров и ограничений;
• 5) формирование целевой функции и альтернативных воздействий на неблагоприятные факторы с целью их парирования — разработка концепции решения для риск-менеджмента;
• 6) содержательная и математическая постановка экстремальной задачи — дальнейшая конкретизация и формализация условий принятия соответствующего оптимального решения;
• 7) подготовка исходных данных по всем учитываемым параметрам исследуемого ОПО с учетом ограничений — уточнение области определения аргументов целевой функции;
• 8) выбор метода и разработка или подбор компьютерного алгоритма решения поставленной экстремальной задачи — определение правил обоснования оптимального решения;
• 9) решение данной оптимизационной задачи — нахождение экстремального значения ее целевой функции и соответствующих ему, т. е. оптимальных, параметров риск-менеджмента;
• 10) осуществление оптимальных воздействий — внедрение организационно-технических мероприятий по устранению рассогласования в ОПО и вызвавших его факторов.

Что касается классификации известных методов обоснования и принятия решений в интересах совершенствования рискменеджмента с помощью экстремальных задач, то одна из наиболее распространенных представлена на рис. 2.2.

На приведенной здесь схеме выделены два крупных класса: условная и безусловная оптимизация, отличающиеся соответственно наличием и отсутствием ограничений на оптимизируемые параметры. Дополнительными признаками деления этих задач служат количество критериев оптимизации и переменных (один, несколько), а также связь (линейная, нелинейная) аргументов в целевой функции. Кроме.

Рис. 2.2. Классификация методов и задач оптимизации решений.

того, нижняя часть рисунка делит содержащийся там инструментарий в зависимости:

• а) от метода математического программирования — линейное, целочисленное, квадратичное, численное;
• б) от критерия оптимизации — вектор, скаляр;
• в) от особенностей поиска оптимального решения — правил выбора начальных значений его параметров, направления и шага их изменения, прекращения поиска экстремума.

Наиболее разработанным и широко применяемым способом отыскания оптимального решения ныне является линейное программирование, у которого целевая функция f_mQQ и ограничения g_m(X) имеют виду = Ах. Их графическое отображение (рис. 2.3, а) принимает форму многоугольника на плоскости (х_р х₂), т. е. при т = 2, и многогранника в трехмерном пространстве (т = 3). При этом оказывается, что экстремум всегда соответствует угловой (граничной) точке Х₀, принадлежащей области определения U. Более того, экстремальное значение/(Х₀) может быть единственным или множественным, что означает его принадлежность одному из углов либо всей грани из области Z.

Сфера применения линейного программирования в риск-менеджменте может касаться принятия решений, минимизирующих, например, стоимость инспектирования рассредоточенных ОПО, что может быть достигнуто выбором кратчайших маршрутов. Математическая постановка подобной экстремальной задачи будет иметь вид.

min (Gc) = ?; х е U, U = {х е R^m х > 0, Ах = Б},.

Рис. 2.3. Графическая иллюстрация поиска экстремума:

а — линейное программирование; б — нелинейное программирование, а основными способами ее решения — графический, симплекс-метод (упорядоченный расчет значений целевой функции в угловых точках и их последовательное сравнение), метод ветвей и границ, которые включены в пакеты прикладных программ типа MathCad и MatLab.

Известны и другие методы решения подобных задач: а) целочисленное программирование, когда оптимизируемый параметр принимает лишь такие дискретные значения, что округление дроби до целого дает неоптимальное значение f_v(X_Q); б) динамическое программирование, которое основано на замене поиска экстремума целевой функции многих переменных пошаговым многократным поиском функций каждого из них и которое применимо при нелинейной связи аргументов с критерием оптимизации Z (X) или ограничениями g_uСЮ;

Довольно перспективным считается нелинейное программирование, которое к настоящему времени хорошо разработано лишь для выпуклых функций. Среди них выделяются квадратичные, у которых локальный экстремум эквивалентен глобальному. Принадлежащие этим функциям области определения U (в форме сегмента круга) и значений Z (в виде части яичной скорлупы) показаны на рис. 2.3, б. Приведем методы решения задач данного класса:

• а) градиентный метод поиска экстремума отличается разными способами выбора начальной точки Х_п, однако движение к оптимуму всегда реализуется в последовательности X_n+l =Х_п + kf{X_n), где X — некоторая малая величина, которая может быть как постоянной, так и переменной. Выбор ее больших значений обеспечивает быстрейший подъем или спуск к экстремуму, а меньших — исключает его пропуск по мере приближения. Ломаные линии на рис. 2.3, б отражают реализацию поиска экстремума данным методом;
• б) метод возможных (допустимых) направлений осуществляется путем расчета целевой функции при движении вдоль активных огра-

ничений, при этом оптимальный шаг А, может определяться решением вспомогательной задачи линейного программирования;

• в) метод Ньютона пригоден (в отличие от двух предыдущих методов) лишь для сильно выпуклых функций и реализует квазистационарный шаг, который определяется по трем первым членам целевой функции, представленной в виде ряда Тейлора;
• г) метод линеаризации использует инструментарий линейного программирования после соответствующих преобразований целевой функции и функции ограничений;
• д) метод штрафных функций основан на замене целевой функции другим выражением (ее сложением с какой-либо прибавкой) и последующим нахождением вместо ее условного экстремума безусловного, который затем считается приближенно равным искомому.

Характеризуя особенности принятия решений в условиях векторной (многокритериальной) оптимизации, обратим внимание лишь на три основных метода, которые наиболее пригодны и для решения экстремальных задач в интересах менеджмента риска.

• 1. Лексикографический метод основан на упорядочении учитываемых критериев в порядке убывания значимости, с предпочтением экстремума высших из них над таким же значением всех остальных. Имеет недостатки, ограничивающие применение метода, — сложность и субъективность ранжирования критериев, непригодность в случае их равнозначности.
• 2. Метод последовательных уступок требует подобного ранжирования и поиска оптимума самого важного из критериев. Затем его величина понижается на некоторую уступку, и находят экстремальное значение следующего, и так до тех пор, пока не обнаружено оптимальное значение всей совокупности критериев. Недостатки подобны предыдущим плюс субъективизм в выборе уступок и сомнения в экстремальности найденных критериев, кроме первого.
• 3. Метод свертывания критериев обычно связан с суммированием критериев после придания каждому из них индивидуального весового коэффициента. Страдает произволом в выборе весов, а иногда приводит к заметной неэкстремальное™ отдельных критериев, несмотря на оптимальное значение всей их аддитивной свертки.

Известны также другие, менее распространенные способы обоснования решений с одновременным использованием нескольких критериев и итеративных процедур поиска их совокупного экстремума. Наиболее важным среди них считается целевое программирование, являющееся, пожалуй, наиболее своеобразным методом решения задач векторной оптимизации. Ведь вместо поиска экстремума многокритериальной целевой функции одним из перечисленных выше способов он ориентирован на отыскание минимального рассогласования между векторами реально достижимого и оптимального положений рассматриваемого объекта в фазовом пространстве, образованных всеми учитываемыми при этом критериями.