Потоки платежей. 
Инвестиционный анализ

Потоки платежей — платежи, последовательные во времени, например выплаты дивидендов, пенсии и т. д.

Регулярным потоком платежей (финансовой рентой, аннуитетом) называются платежи, у которых все выплаты направлены в одну сторону (например, поступления), а интервалы между платежами одинаковы.

Нерегулярным потоком платежей являются платежи, у которых хотя бы одно из двух перечисленных выше свойств не выполняется.

Наращенная сумма потока платежей — сумма всех выплат с начисленными на них к концу срока сложными процентами.

Современная стоимость потока платежей — сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока по сложной процентной ставке.

Рассмотрим общий случай потока платежей. Пусть R_k — ряд платежей, имеющих знак «плюс» или «минус»; t_k — время выплаты под номером k = 1, 2, …, К, К — количество выплат; t_K — общий срок потока; а — сложная процентная ставка наращения, начисляемая один раз в году; выплаты производятся в конце периода (рис. 2.1).

Рис. 2.1. Схема выплат

В соответствии с определением наращенная сумма такого потока платежей рассчитывается по формуле.

Современная стоимость потока платежей.

Современную стоимость, определяемую соотношением (2.38), можно получить также дисконтированием наращенной суммы (2.37), т. е.

Действительно,.

По моменту выплат в пределах между началом и концом периода ренты подразделяются:

• • на постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты производятся в конце периода;
• • пренумерандо, когда выплаты производятся в начале периода;
• • ренты с платежами в середине периода.

Постоянной называется рента, выплаты которой не изменяются во времени.

Как правило, рассматривают характеристики ренты постнумерандо. Затем по формулам связи рент постнумерандо с остальными типами находят характеристики других типов рент.

Рента постнумерандо, предусматривающая выплаты и начисления процентов один раз в конце года, называется годовой.

Наращенная сумма годовой ренты находится из следующих соображений. Пусть в течение п лет в фонд (банк) в конце каждого года вносится по R руб., на которые начисляются сложные проценты по ставке а годовых. Таким образом, на первый взнос проценты начисляются п — 1 год, на второй — п — 2 года и т. д. Наращенная сумма к концу срока.

Видно, что эта сумма представляет собой сумму геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии q = 1 + я, которая вычисляется по формуле.

где R — первый член прогрессии; п — количество членов прогрессии.

Подставив в эту формулу q — + а, найдем соотношение для наращенной суммы годовой ренты, т. е.

Последнюю формулу можно записать в виде.

где  — коэффициент наращения ренты, табулированная функция.

При определении современной стоимости годовой ренты проводим дисконтирование каждого платежа и складываем все эти платежи, т. е.

Выражение в скобках — сумма геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии и количеством членов прогрессии п. Учитывая приведенную выше формулу для суммы геометрической прогрессии, находим соотношение для современной стоимости годовой ренты.

Запишем эту формулу в виде.

где  — коэффициент приведения ренты, табулированная функция.

Пример 2.16. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определите коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле.

Наращенная сумма.

Коэффициент приведения ренты находится как.

Современная стоимость определяется соотношением.

Более общим типом ренты по сравнению с годовой является рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке и неоднократными выплатами в году. Схема выплат и начислений такой ренты представлена на рис. 2.2 [12].

Рис. 2.2. Схема выплат ренты с начислением процентов

по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году

Если выплаты производятся р раз в году, то такая рента называется р-срочной, или рентой с неоднократными выплатами в году. В любом году производится р выплат по R/p руб., где R — годовая выплата. Количество начислений процентов в году, но номинальной ставке j равно т. Срок ренты — п лет. Аналогично случаю годовой ренты находим соотношения для наращенной суммы и современной стоимости ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году:

Из соотношений (2.39)—(2.42) следуют формулы для частного случая, когда количество начислений процентов в году равно количеству выплат в году. Подставив туда т=р, найдем.

Для случая годовой ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке соотношения для коэффициента наращения и коэффициента приведения получают из (2.40) и (2.42) при подстановке туда р = 1:

Пример 2.17. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по номинальной ставке 15% годовых, причем проценты начисляются поквартально. Определите коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение: Коэффициент наращения ренты находится по формуле.

Наращенная сумма

Коэффициент приведения ренты определим по формуле.

Современная стоимость ренты.

Для р-срочной ренты формулы для коэффициента наращения и коэффициента приведения также находят из (2.40) и (2.42) при подстановке туда т = 1:

Пример 2.18. В фонд ежегодно поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся в конце квартала. Определите коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле.

Наращенная сумма S = 10 000 • 11,671 179 = 116 711,79 руб.

Коэффициент приведения ренты находится по формуле.

Современная стоимость фонда.

При расчете характеристик рент с выплатами в начале и в середине периодов используются характеристики аналогичных рент постнумерандо. При выплатах в начале периода (рента пренумерандо) наращенная сумма и современная стоимость ренты определяются выражениями

где S_{, S — наращенная сумма ренты пренумерандо и постнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной ставке и неоднократными выплатами в году соответственно;

где А_{, А — современная стоимость ренты пренумерандо и постнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной ставке и неоднократными выплатами в году соответственно.

Для ренты с выплатами в середине периода имеем.

где 5_½, S — наращенная сумма ренты с выплатами в середине периода и ренты постнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году соответственно;

где А_½, А — современная стоимость ренты с выплатами в середине периода и ренты постнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной ставке и неоднократными выплатами в году соответственно.

Отложенными рентами называются ренты, у которых начало выплат сдвинуто вперед.

При расчете современной стоимости такой рейты вначале находят современную стоимость исходной ренты, у которой моментом приведения считается начало выплат, а затем дисконтируют полученный результат к началу отложенной ренты. Для годовой отложенной ренты современная стоимость fA рассчитывается по формуле.

где А — современная стоимость исходной ренты, у которой моментом приведения считается начало выплат; t — время задержки в выплате ренты; а_п._а — коэффициент приведения ренты к началу выплат.

Если срок ренты очень большой или конкретно не оговаривается, т. е. если п —> °°, то такая рента называется вечной. Формула для вычисления современной стоимости годовой вечной ренты имеет вид