Метод точечной интерполяции

При исследовании СУ часто возникают вопросы определения максимумов и минимумов каких-либо функций (затрат, прибыли, эффектов, качества, конкурентоспособности и т. п., для которых имеются оптимумы и минимумы). Нередко встречаются следующие задачи:

• 1) достижение заданного уровня исследуемого параметра (функции) при минимуме аргумента;
• 2) достижение максимально возможного значения функции при заданных допустимых величинах аргумента;
• 3) достижение при минимуме величины аргумента максимально возможного значения функции.

Решение данных задач может предусматривать получение эмпирической зависимости исследуемой функции от аргумента, которую можно описывать соответствующей кривой с помощью различных математических методов. Для определения оптимальной величины исследуемой функции с необходимой степенью точности практически достаточно 3—4 точек аргумента. В этом случае для описания кривой 3 = ДКН) можно воспользоваться методом точечной интерполяции.

Например, при наличии известных трех точек Кнф К" н], Кн2 и соответствующих им значений функций 30, 3, 32 оптимальная величина Кн опт при минимуме 3 методом точечной интерполяции будет определяться по формуле:

Для более точного нахождения оптимальной величины Кн опт можно воспользоваться кубической интерполяцией и наличием четырех узлов интерполяции (четырех точек с различными величинами К" н).

Метод Монте-Карло

Представляет собой расчетный численный способ решения исследовательских задач математического характера на основе моделирования случайных величин и формализованного описания неопределенности. Этот способ исследований называют также методом статистических испытаний, который на основе статистических данных и различного рода ограничений позволяет сформировать имитационные модели и создать множество сценариев реализации задач исследования и выбрать наиболее вероятный из них.

Графические методы исследования СУ

При исследовании СУ часто предполагают использование в качестве инструмента изучения явлений различных диаграмм, графиков и гистограмм. В частности:

• — диаграмм — Исикавы («рыбьего скелета» — причинно-следственной диаграммы), Парето, разброса, радиационного вида, системную — древовидную, матричную, сетевую и др.;
• — графиков — круговых, ленточных, 7-образных, в виде ломаных линий и др.;
• — гистограмм — с двухсторонней симметрией, вытянутых влево или вправо, «двухгорбых», с обрезанным (ограниченным) одним или двумя краями и др.

Целью построения диаграммы Исикавы является выявление эффективного способа решения поставленного вопроса. В диаграмме исследуемый вопрос (например, характеристика качества) изображается в виде прямой горизонтальной линии, а причинные факторы, влияющие на исследуемую характеристику, — наклонными прямыми линиями (стрелками). На диаграмме причинные факторы первого порядка изображаются большими наклонными линиями, а второго, третьего и т. д.— малыми наклонными линиями (рис. 144).

Основные работы по построению такой диаграммы включают:

• — выбор «узкого» места в объекте исследования;
• — проведение на диаграмме прямой горизонтальной линии, отображающей характеристику избранного для исследования объекта;
• — определение причинных факторов первого порядка, влияющих на объект, и изображение их на диаграмме в виде больших наклонных линий;
• — определение причинных факторов второго, затем третьего и последующих порядков на объект, нанесение на диаграмму малых наклонных линий;
• — выявление значимости всех причинных факторов, оказывающих влияние на исследуемый объект.

Рис. 144. Принцип построения причинно-следственной диаграммы (диаграммы Исикавы. «рыбьего скелета», «рыбьей кости»):

К — наименование характеристики качества; А, Б, В, Г, Д, Е, Ж — причинные факторы (материалы, оборудование, условия и т. п.); А, А?(… Ж?. — причины, обусловливающие причинный фактор, А (для следствия А), Ж (для следствия Ж); Ж, — причина, обусловливающая причину Ж (для следствия Ж1).

На основе результатов анализа диаграммы вырабатываются соответствующие корректирующие (управляющие) воздействия.

Пример диаграммы Исикавы для анализа брака продукции приведен на рис. 145.

Рис. 145. Пример упрощенной причинно-следственной диаграммы брака изделия.

Среди перечисленного графического инструментария нередко представляет практический интерес диаграмма Парето, которая помогает выявить причины и факторы, позитивно или негативно влияющие на то или иное явление. Такой вид диаграммы наглядно показывает эти причины и факторы в порядке уменьшения значимости. Например, при определении приоритетности девяти стимулов приобретения (реализации) на внутреннем рынке телевизоров отечественного производства и представлении результатов обработки данных в виде диаграммы Парето (рис. 146) оказалось, что наиболее значимым стимулом для потребителей (покупателей) является более высокий технический уровень телевизоров (эти данные были получены экспертным методом на основе парных сопоставлений при участии 20 экспертов).

При использовании некоторых рассмотренных методов (причинно-следственной диаграммы, диаграммы Парето и др.) решение исследовательских задач представляет собой ряд.

Рис. 146. Диаграмма Парето для анализа стимулов приобретения (реализации) продукции:

1 — более высокий технический уровень; 2 — более высокий эксплуатационный уровень качества; 3 — меньшие единовременные затраты потребителя (покупателя); 4 — более высокий имидж предприятия-изготовителя; 5 — более высокий уровень сервиса (в том числе гарантии); б — более высокий уровень качества изготовления; 7 — меньшие текущие затраты потребителя; 8 — точные сроки поставки продукции; 9 — прочие последовательно (или параллельно, или последовательно-параллельно) выполняемых работ, осуществляемых группами исследователей. При этом для большинства работ должны быть предусмотрены обратные связи. Примерный порядок использования диаграммы Парето может быть следующим.

• 1. Выбор проблемы для решения.
• 2. Разработка причинно-следственной диаграммы.
• 3. Определение заданий исследователей.
• 4. Сбор и анализ информации для выполнения каждого задания.
• 5. Разработка причинно-следственной диаграммы в соответствии с заданием.
• 6. Разработка диаграммы Парето по проблеме.
• 7. Разработка предложений и мероприятий, направленных на ликвидацию недостатков (на основе диаграммы Парето).
• 8. Получение необходимой помощи при подготовке предложений и мероприятий.
• 9. Разработка окончательных предложений и мероприятий по решению проблемы.
• 10. Внедрение предложений и реализация мероприятий.
• 11. Анализ и обсуждение технико-экономических и социальных результатов внедрения предложений и реализации мероприятий.

Графики, отображаемые ломаной линией, как правило, используют при изучении характера изменений исследуемого объекта от времени (рис. 147).

При этом данные могут обрабатываться, например, методом наименьших квадратов. Подобного рода графики позволяют выявить тенденцию изменения объекта, а в некоторых случаях (при соблюдении определенных условий) — дать прогноз такого изменения.

Графики в виде контрольных карт отличаются от обычных наличием линий, называемых границами регулирования (контрольными границами). Они чаще всего используются при контроле качества продукции и регулировании технологических процессов. В зависимости от вида контроля различают контрольные карты, применяемые при контроле и регулировании по количественному.

Рис. 147. Характер изменения брака (в зависимости от времени).

(в том числе альтернативному) и качественному признакам. В первом случае используются численные значения показателей качества единиц продукции, во втором — единицы продукции делят на несколько групп качества и решение о контролируемой продукции принимают в зависимости от соотношений единиц продукции разных групп. Пример одной из контрольных карт по количественному признаку _/ представлен на рис. 148. Как видно на карте,.

Рис. 148. Контрольная нарта числа дефектных единиц продукции: пр — карта для статистического регулирования технологических процессов методом учета дефектов; <�т — браковочное число (минимальное число дефектных единиц в выборке, по достижении которого технологический процесс признается разлаженным).

18-я выборка имеет восемь дефектных единиц продукции, что совпадает с браковочным числом (со значением границ регулирования). Следовательно, в этом случае технологический процесс должен быть признан разлаженным и требующим регулирования.

Очень часто для анализа различных данных используют также круговые диаграммы.

Помимо других графических методов в управлении в целом и исследованиях СУ, в частности, используются сетевые графики. Сетевой график — полная графическая модель комплекса направленных на выполнение единого задания работ, в которой представлена логическая взаимосвязь, последовательность работ и взаимосвязь между ними.

При исследовании СУ может использоваться ряд других методов теоретической направленности (кроме рассмотренных выше), в частности, математические методы интегрального, дифференциального и вариационного исчислений, методы теории вероятностей, теории игр, динамического программирования, математической логики, теории множеств, исследования операций и массового обслуживания, теории информации, теории графов, номограмм, гистограмм, статистического имитационного моделирования.