Портфель из двух типов ценных бумаг

Для каждого портфеля можно построить на графике ожидаемой доходности от среднего квадратического отклонения точку, рассчитанную по формулам (6.1)—(6.3). Рассмотрим частный случай двух видов ценных бумаг. Пусть доля портфеля бумаг первого типа равна х, второго -1-х. Введем следующие обозначения для математического ожидания доходностей бумаг первого и второго типов, их дисперсий и ковариации а_и а₂, cr_t2 соответственно. Тогда (6.2).

и (6.3) можно записать в виде.

Система уравнений является функций доходности портфеля а_р от риска а_р, т. е. функцией а_р(и_р), заданной в параметрической форме. Параметром здесь служит доля ценных бумаг первого вида х. Несколько графиков таких функций представлено на рис. 6.1. Некоторые из этих графиков имеют верхнюю и нижнюю ветви.

Рис. 6.1. Стандартное отклонение.

Найдем точку, в которой производная функции, а (о_р) стремится к бесконечности. Поскольку функция (6.12) задана параметрически, т. е. aJx) и о_р(х), то ее производную можно представить в виде.

Искомая точка находится из уравнения

Решая это уравнение относительно х₀, получим.

Пример 6.2. Даны два типа ценных бумаг с характеристиками, приведенными в табл. 6.2. Постройте графики функции а_р(а_р).

Таблица 6.2

Решение.

1. Рассмотрим пример 1. Определим точку экстремума по формуле.

Зададимся составом портфеля (первая строчка табл. 6.3). Для заданных составов рассчитаем доходность и риск. Составим таблицу.

Таблица 6.3

График функции а_р(а_р) можно построить в Excel. Выделим строку доходности и, нажав на кнопку «Диаграмма», откроем окно «Тип диаграммы». Выберем тип диаграммы «Точечная» и «Вид» такой, какой вас больше устраивает. Нажать на кнопку «Далее». В появившемся диалоговом окне раскрыть вкладку «Ряд». Поставить курсор в поле «Значения X». Выделить строку рисков. Затем «Далее» —> «Далее» —> «Готово».

График, построенный по данным этой таблицы, представлен на рис. 6.1 ромбами. Такую кривую называют «пулей». Координата по оси абсцисс <�з_р = 0,548 — минимальное из всех возможных средних квадратических отклонений, т. е. риск, минимальный для структуры портфеля с долей бумаг первого типа, х = 0,667 (66,7%), и с долей бумаг второго типа 1 — х = 0,333 (33,3%). При этом ожидаемая доходность равна а_р = 9,66%.

2. Для примера 2 можно записать.

Искомый график — отрезок прямой линии. Для доказательства этого определим производную Так как производная — постоянная величина, то исследуемая функция имеет вид отрезка прямой линии. Если задана точка, лежащая на прямой, и угловой коэффициент, то прямая определена. Найдем координату точки, поставив х= 1 в последнюю систему уравнений. В результате получим а_р = а_л и а₃ = 0. Уравнение искомой прямой имеет вид Подставив сюда исходные данные примера, запишем уравнение исследуемой функции.

Отрезок прямой легко построить по двум точкам. Одна точка определена. Ее координаты (0; 0,07). Координаты второй точки находятся при х = 0. В этом случае а_р = а₂, с_р = а₂. Тогда координаты второй точки (0,15; 0,949). На рис. 6.1 искомая функция представлена левым отрезком прямой линии.

3. На этом же рисунке представлены графики других примеров. Стрелка показывает направление возрастания ковариации ценных бумаг первого и второго типа.

Для примера 6 из условия р₁₂ = 1 следует а,₂ = а^. Тогда можно записать.

Найдем производную Так как эта производная не зависит от среднего квадратического отклонения портфеля, то искомая функция выражена отрезком прямой линии, соединяющим точки, координаты которых находятся из условий х- 1 и х = 0:

Для условий примера первая точка имеет координаты (0,671; 0,07), а вторая — (0,949; 0,15). На рисунке искомая функция изображена в виде правого отрезка прямой.

Как следует из приведенных примеров, вид функции а_р{а_/;) существенным образом зависит от ковариации двух доходностей ценных бумаг. При увеличении ковариации растет риск (среднее квадратическое отклонение) при той же доходности.