Решение систем нелинейных уравнений

Рассматривается задача: с заданной точностью е решить следующую систему уравнений:

Особенностью этой задачи является ее сложность. Дело в том, что в общем случае неизвестно количество решений системы (3.14), в том числе и имеет ли система хотя бы одно решение. Если же решение существует, то корни могут быть найдены только приближенно, поскольку для системы (3.14) в принципе не существует прямых методов нахождения решений.

Если ввести обозначения: (/i,/2,-.,/")^T =f n (Xi, x₂,…, x_n)^T = х, то система (3.14) примет вид f (x) = 0, где 0 — нулевой вектор соответствующей размерности.

Решение поставленной задачи распадается на те же два этапа: локализация корней и их уточнение. Проблема локализации корней при решении систем более сложна, чем для одного уравнения. Можно сказать, что при решении нелинейных систем основу успеха составляют исключительно опыт исследователя как вычислителя и хорошее представление физики изучаемого объекта. Обычно за начальное приближение берут значение вектора х (°) исходя из физических соображений или просто перебирая некоторые потенциально возможные решения.

Для уточнения корней используются, вообще говоря, те же методы, что и при решении отдельных уравнений. Вместе с тем более затруднено решение вопроса об оценке погрешности вычислений, поскольку область локализации в этой задаче многомерная и часто имеет сложную геометрическую структуру. Это означает, что по одной координате оценка погрешности одна, по второй — другая и т. д. Поэтому вводят понятие оценки радиуса этой области е.

Здесь мы рассмотрим только метод простой итерации. Основная идея решения задачи (3.14) полностью аналогична той, что описана выше для одного уравнения. Вначале исходную систему преобразуют к виду, удобному для проведения итерационного процесса:

и записывают итерационное выражение или в развернутой форме.

Затем каким-то образом находят начальное решение х⁽⁰> и реализуют процесс его уточнения по формулам (3.15).

Условия сходимости данного итерационного процесса задаются следующей теоремой.

Теорема 3.2. Если в некоторой окрестности искомого корня х выполнено условие

то независимо от выбора начального приближения х (0) решение сходится к х.

В условии (3.16) величинаесть матрица Якоби вектор;

функции ф (х), т. е.

По аналогии с рассмотренным вопросом о сходимости метода простой итерации для одного нелинейного уравнения можем записать.

В связи со сложностью определения величины q, удовлетворяющей для всех х условию (3.16), на практике часто используют следующее правило окончания итерационного процесса: решение закончить, если выполнено условие.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 3.5.

С точностью до 0,001 решить систему.

Решение. Оценки начальных значений могут быть выбраны исходя из геометрических построений. Пусть это Xj = 3,8, х₂ = 2.

Затем приводим систему к виду, удобному для проведения итерационного процесса:

Поскольку функции <�р, могут строиться самыми различными способами и от этого зависит сходимость итерационного процесса, проверим выполнимость условия (3.17). В данном случае матрица Якоби имеет вид.

Для выбранного нулевого приближения эта матрица такова:

Нормы векторов и матриц могут вводиться различными способами. В данном случае выберем обобщенную (предельную) форму.

Для рассматриваемого примера.

Условия сходимости выполнены. Можно приступать к проведению итерационного процесса, сходящегося со скоростью геометрической прогрессии с q = 0,815. По формулам.

проведем вычисления, которые занесены в следующую таблицу:

В итоге получим х_г =3,774±0,001, х₂ =2,077±0,001.