Расчет вынужденных колебаний при периодической вынуждающей силе на базе замкнутой формы решения

Наиболее естественным способом определения решения дифференциального уравнения (5.40) на первый взгляд является его интегрирование с помощью численных методов до выхода на установившийся режим. Однако такой путь приводит к значительной накопленной погрешности и повышенной трудоемкости расчета. Поэтому воспользуемся более точным и экономичным методом построения замкнутой формы решения.

Исследуем поведение системы, описываемой дифференциальным уравнением (5.40), на произвольном периоде колебаний 0 При этом решение описывается зависимостью (5.7), в которую входят начальные условия q (0) = q_a и q (0) = q_n. Однако в данном случае начальные условия нам не известны, так как рассматриваемому периоду при установившемся колебательном режиме предшествует неограниченное число циклов. Для определения q₍₎ и q₍. воспользуемся условиями периодичности вынужденных колебаний:

Таким образом, мы располагаем системой двух уравнений с двумя неизвестными q₀ и q_u, после решения которой можем воспользоваться зависимостью (5.7), справедливой теперь и при установившемся режиме на произвольном периоде колебаний.

Для лучшего уяснения процедуры построения замкнутой формы решения сначала рассмотрим более простой случай, когда не учитывается линейная сила сопротивления. Согласно (5.3).

На основании уравнений (5.46) — (5.48) получаем где

Решая систему уравнений (5.49), находим.

Далее по формулам (5.47), (5.48) определяем начальные условия. Константы С, и С₂ (или одна из них) обращаются в бесконечность при кх/2 =jn 0=1,2,…), что отвечает резонансным режимам (J (S> = к). Естественно, такой же результат мы получили и при использовании метода гармонического анализа (см. параграф 5.8).

Рис. 5.10.

Пусть, например, периодическая вынуждающая сила имеет вид пилообразной характеристики (рис. 5.10).

При 0 < t < х частное решение имеет вид Y = Bt, где В = F./(cx).

Тогда 7(0) = 0; Т (т) = Дт;

Согласно (5.50).

При учете линейной силы сопротивления (b^[1][2] 0) после аналогичных, хотя и более громоздких выкладок и некоторых упрощений, получаем.

ограниченном отрезке времени, равном одному периоду т, в то время как установившийся режим (t —> (c)о) определяем аналитически с помощью условий периодичности. Последнее существенно сказывается на повышении точности решения и уменьшении трудоемкости расчета.

• [1] где N = k/co; X — логарифмический декремент. На основании (5.51) максимальная амплитуда сопровождающих колебаний (с собственной частотой к) определяетсяследующим образом: гдер — коэффициент накопления возмущений, определяемыйкак Анализ этого важного динамического критерия будет проведен в параграфе 6.2. В приведенном выше примере частное решение было найдено аналитическим способом. При более сложной форме описания вынуждающей силы целесообразно воспользоватьсячисленно-аналитическим способом, который состоит из следующих этапов: • численное интегрирование исходного дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях (например, методом Рунге-Кутта); при этом находим
• [2] определение констант С, и С2 и начальных условий, отвечающих установившемуся режиму, по формулам (5.47), (5.51); • повторное численное интегрирование с полученныминачал ы-1 ым и уело в иям и. При этом способе численным интегрированием найденылишь отдельные промежуточные функции, вычисленные на