Релаксационные автоколебания. 
Динамика машин. 
Колебания

Обратимся к модели, показанной на рис. 8.10. Представим, что от звена 1, перемещающегося с постоянной скоростью v0 > 0, движение через упругодиссипативный элемент 2 передается звену 3, обладающему массой т, к которому приложена сила трения F. В качестве обобщенной координаты примем деформацию упругого элемента q: тогда скорость звена 3 равна v = v0 + q. Очевидно, что при постоянной силе трения F = F0 = const имеем q = -F0 /с = const, а следовательно, v = v0. Однако сила трения зависит в числе многих факторов и от скорости скольжения, поэтому в общем случае F (v) * const; при этом q * О. Примем упрощенную характеристику сил трения, согласно которой при отсутствии скольжения (v = 0) сила трения равна силе трения покоя F = F0, а при движении (v > 0) F = F0 (рис. 8.11, a).

Рис. 8.11.

Запишем дифференциальное уравнение для фазы движения массы т = (0 < t < t_{)

где b = /(2л) — коэффициент эквивалентного линейного сопротивления; |/ - коэффициент рассеяния.

Преобразуем уравнение (8.34) к виду.

где

Построим фазовой портрет, отвечающий уравнению (8.35), с помощью дельта-метода (см. параграф 8.2). С этой целью введем «безразмерное время» (р = kt. Тогда.

где ; штрихом обозначена производная по ф.

Сначала рассмотрим случай, когда отсутствует линейное сопротивление (5 = 0). При этом на участке движения А, = -FJc = = const, следовательно, согласно (8.6) фазовая траектория представляет собой окружность с центром в точке А, (рис. 8.12, кривая 1).

Рис. 8.12.

Установим начальные условия. Поскольку движение начнется лишь тогда, когда восстанавливающая сила уравновесит силу покоя, при t = 0 имеем q₀ = -FJc. Второе начальное условие определяют исходя из очевидного равенства v = v₀ + су₀ = 0; отсюда q₀ = -v₀. Этим начальным условиям отвечает на фазовой плоскости точка N₀ с координатами х₀ = q₀ и у₀ = q'₀ = -v₀ /к.

Движение массы будет продолжаться до тех нор, пока фазовая траектория не придет в точку N_r Этой точке отвечает ^v = ^v₀ + q₀ = 0, поэтому сила трения становится равной силе трения покоя F₀. Па участке выстоя у= -v₍₎/A = const, поэтому фазовая траектория представляет собой прямую N_{N₀, после чего описанный выше колебательный процесс повторяется. Итак, равномерное движение входного звена 1 трансформировалось в релаксационные автоколебания с остановками. Участку движения («скачку») отвечает угол ср, = 2к — 2<�р₀ и отрезок времени ?, = (р,/к. Угол ф₀ определяется как.

Здесь AF= F₀— F_{- перепад сил трения покоя и движения.

Период автоколебаний т = t₂ найдем исходя из очевидного равенства пути, пройденного звеном 1 и массой т за один цикл:

причем

При учете, что , получаем.

Безразмерное значение периода автоколебаний равно.

Из зависимостей (8.37)-(8.39) следует, что при AF—> 0 имеем

«Амплитуда» колебаний Л₀ определяется как.

Далее учтем силу линейного сопротивления, влияние которой проявится в том, что амплитуда колебаний будет уменьшаться по закону Л = А₀е~^т. При этом фазовая траектория (кривая 2) располагается внутри окружности 1 радиуса А₍₎, и зона выстоя начнется в точке N. Этому случаю отвечает график q (t), приведенный на рис. 8.13, а. Однако может оказаться, что.

V_mm =V₀+^_mjn > 0, следовательно, q_min > —v₀. Тогда выстоя не будет, и колебания будут затухать по экспоненциальному закону (рис. 8.13, б). При этом фазовая траектория примет вид кривой 3 (см. рис. 8.12).

Рис. 8.13.

Представляет интерес критическое значение v₀ разделяющее эти два случая, что отвечает касанию фазовой траектории прямой AyVj. Как показывает анализ, влияние линейной диссипации на положение точки касания пренебрежимо мало, и она располагается в окрестности N. При этом.

где (Звездочкой отмечены значения параметров, отвечающих этому критическому случаю.).

На основании (8.41) и анализа фазового портрета.

Отсюда следует, что.

Решая это трансцендентное уравнение при можно показать, что

На основании (8.40) и (8.41) окончательно получаем где

Так как (А/ - перепад коэффициентов трения покоя и движения; g — ускорение свободного падения), формуле (8.44) можно придать вид.

С ростом собственной частоты к критическое значение скорости V* убывает.

При v₍₎< у₍*имеют место фрикционные автоколебания, а при v₍₎> v₀'ohh отсутствуют. В предельном случае, когда X —> 0, имеем vj—> со, что отвечает кривой 1 на фазовом портрете. Это означает, что без учета линейного сопротивления автоколебания рассмотренного типа возникают при любой скорости v₍₎. Обычно критическая скорость v₀*достаточно мала. Пусть, например, к = 100 с^-1, Д/= 0,05; X = 0,2. При этом ф₀* = 0,584 рад (см. уравнение (8.43)); Л.* ~ 0,18 и v₀*= 0,741 • 10~²м/с.

При проектировании металлорежущих станков, приборов и другого оборудования возникающее при релаксационных автоколебаниях превращение равномерного движения в прерывистое (т. е. в движение с остановками и скачками) является весьма нежелательным. Дело в том, что величина скачка As в конечном итоге определяет гак называемую точность позиционирования, т. е. реализуемую точность установки исполнительного органа в заданное положение. Для оценки As рассмотрим два предельных случая. При скорости v₀, близкой к критическому значению v₍₎*, имеем ф,*~ 2л — (р₀ где ф₀*= ф₀(у₍₎*).

Тогда (см. выше).

Однако Aq = q (t_{) — q₀ в этом случае стремится к значению.

. Отсюда следует.

Этому скачку отвечает период т, = As/v₀*. Интересно, что при переходе скорости v₍₎ через критическое значение v₍₎* период уменьшается скачком до значения х= 2n/k, т. с. на величину Дт, = = (tg (p₀* - %)/k. При принятых выше исходных данных ф₀^{< =} = 0,584 рад; As. = 0,471 мм; т.= 6,36 • 10 ² с; Дт.= 7,68 • 10^_4с.

Другой предельный случай реализуется при v₀/k < AF/c эта ситуация возникает при малых значениях задающей скорости v₀ В этом случае (р₀-> тс/2. Тогда согласно (8.38).

В этом предельном случае четко проявляется еще одна любопытная особенность релаксационных автоколебаний. Как это следует из зависимостей (8.47), период автоколебаний теперь практически определяется временем выстоя массы, когда происходит деформация упругого элемента. Далее масса почти мгновенно «перескакивает» на величину As. При этом колебания по существу оказываются разрывными. Если при квазигармонических автоколебаниях (см. параграф 8.5) равноправную роль играют накопители кинетической и потенциальной энергий (упругие и инерционные элементы), то при релаксационных автоколебаниях доминирует лишь один из двух накопителей энергии. Этот накопитель, роль которого в данном случае играет податливый привод, является своеобразным посредником между внешним источником и колебательной системой. По мерс приближения v₍₎ к критическому значению v₀⁴ релаксационная форма автоколебаний становится менее выраженной.

Одним из способов устранения выявленных «скачков» является использование материалов с малыми перепадами коэффициентов трения покоя и движения, таких, например, как наполненные фторопласты (тефлон, фторлон) в паре с закаленной сталыо. Разумеется, более радикальным способом является переход к направляющим качения, при которых трение скольжения полностью исключается.