Релятивистское выражение для энергии

Мы установили, что релятивистское выражение второго закона Ньютона имеет вид (9.1.2).

Все положения, изложенные в п. 4 относительно работы сил, потенциальности сил и потенциальной энергии, остаются справедливыми и для движений с большими скоростями, потому что в выводе указанных соотношений вообще было не существенно, с какой скоростью движется тело.

Поставим цель: получить релятивистское выражение для энергии, для чего проведем некоторые преобразования, используя (9.1.2). Домножим скалярно левую и правую часть указанного выражения на элементарное (бесконечно малое) перемещение dr = vdt. (Заметим, что для бесконечно малого перемещения |dr| = ds', где dv — бесконечно малый участок пути.).

Преобразуем левую часть записанного выражения, принимая во.

/ 2.

внимание, что скалярное произведение и • do = d — = odo.

ч ² )

Следовательно, равенство (9.3.1) принимает вид:

Пусть частица движется в поле потенциальной силы, тогда выражение для элементарной работы имеет вид^F, drj = -d (/. Где dU ;

приращение потенциальной энергии частицы.

Проведя преобразования и применяя интегрирование, получим:

Это соотношение выражает закон сохранения энергии в релятивистском случае.

Присутствующая в выражении потенциальная энергия имеет тот же смысл, что и в нерелятивистской теории, а величина.

называется полной энергией тела.

Заметим, что выражение «полная энергия тела» в нерслятивистском случае означает сумму его кинетической и потенциальной энергий. В релятивистском случае выражение (полная) энергия используется для названия величины, определяемой соотношением (9.3.3), а также для обозначения суммы этой величины и потенциальной энергии тела (9.3.2).

Важно заметить, что, используя выражение для энергии в виде.

(9.3.3) и релятивистское выражение для импульса (9.1.1), удается образовать инвариант, то есть величину, не изменяющуюся при преобразованиях Лоренца. Эксперименты над быстрыми частицами подтвердили инвариантность указанной величины (позднее будет определен этот инвариант).

В соответствии с опытом принимаем выражение для полной энергии в виде (9.3.3). В этом случае, когда тело покоится (и = 0), оно в соответствии с (9.3.3) обладает энергией W₀ =тс² (9.3.4), которая называется энергией покоя.

W_a — очевидно, представляет собой внутреннюю энергию тела (частицы), не связанную с движением частицы как целого.

Приведенные формулы справедливы не только для элементарной частицы, но и для сложного тела, состоящего из множества частиц. Энергия W_g такого тела содержит в себе, помимо энергий покоя входящих в его состав частиц, также кинетическую энергию частиц (обусловленную их движением относительно центра инерции тела) и энергию их взаимодействия друг с другом.

Но в энергию покоя fV₀, как и в полную энергию W, не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

К вопросу о кинетической энергии подойдем, используя выражение для полной энергии частиц.

При малых скоростях движения (о / с).

Из (9.3.5) видим, что если тело имеет скорость о, к его энергии покоя тс² добавляется кинетическая энергия и эта сумма представляет собой полную энергию движущегося тела. Поэтому кинетическая энергия W_K тела, движущегося с произвольной скоростью и, определяется формулой.

При и"с,.

При скоростях, много меньших скорости света, все формулы релятивистской механики переходят в соответствующие формулы классической механики.

Исключив из уравнений для релятивистского импульса.

/ли «В тс²

р =, = и для релятивистской энергии W = .В = величину.

VI — О² / с² Vl-u²/c²

скорости и, получим выражение, связывающее энергию частицы и ее импульс

Выражение (9.3.7) можно записать следующим образом:

Полученное выражение отличается от классического для кинетиче;

ской энергии W_K добавлением слагаемого тс¹.

2т

Преобразуем выражение (9.3.7).

Энергия W и импульс р изменяются при переходе от одной инерциальной системы к другой, согласно преобразованиям Лоренца, масса т при этом остается неизменной, она является лоренцевым инвариантом. Следовательно, и выражение в левой части соотношения (9.3.8) представляет собой инвариант (тот самый, о котором уже говорили), то есть имеет одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета. (Эксперименты над быстрыми частицами это подтверждают).

При этом сами по себе энергия W и импульс р не являются инвариантами относительно преобразований Лоренца, соответствующих переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Обе величины зависят от скорости о, которая в различных системах отсчета будет иметь разные значения, и преобразуются при переходе от одной системы отсчета к другой.

Используя (9.1.1) и (9.3.3), можно записать.

Заметим, что, как и в механике Ньютона, в теории относительности имеют место законы сохранения энергии и импульса изолированной частицы или изолированной системы частиц. Кроме того, как и в ньютоновской механике, энергия и импульс аддитивны, полная энергия и импульс системы из п свободных частиц равны соответственно.

В теории относительности масса изолированной системы сохраняется, но свойством аддитивности не обладает.

Важно отметить, что в отличие от нерелятивистской механики, в теории относительности энергия тела массой т не обращается в нуль, даже когда это тело покоится (энергия покоя тела пропорциональна его массе).

Утверждение о том, что в инертной покоящейся материи таятся огромные запасы энергии, сделанное Эйнштейном в 1905 г., является главным практическим следствием теории относительности, лежащим в основе энергетики, ядерной энергетики.

Выражения (9.3.8) и (9.3.9) являются основными соотношениями теории относительности для свободно движущейся частицы и описывают это движение во всём интервале скоростей: от и > 0 до о<�с. Например при и = с из (9.3.9) следует, что

Подставив это равенство в выражение (9.3.8), мы делаем заключение, что если частица движется со скоростью с, то её масса равна нулю, или наоборот для частицы «бсзмассовой» нет системы координат, в которой бы она покоилась.

Для частиц с массой, отличной от нуля, (даже очень малой) формулы для импульса и энергии записаны в виде (9.1.1) и (9.3.3), соответственно. Из этих соотношений, в которых энергия и импульс выражаются через массу т и скорость и, получаем, что тело с т ф 0 не может двигаться со скоростью света, так как при этом должны были бы обращаться в бесконечность энергия и импульс тела.