Основные уравнения движения жидкости

Дифференциальные уравнения движени невязкой жидкости

Согласно принципу, сформулированному французским ученым Д’Аламбером, если к силам, действующим на тел в статике, присоединить силы инерции, то получится уравновешенная система сил для движущегося тела. Таким образом, из уравнений статики можно получить уравнени динамики. Применим этот принцип при рассмотрении сил действующих на жидкий параллелепипед, выделенны в движущейся идеальной жидкости. Силы, действующие н этот параллелепипед, аналогичны силам, действующи в гидростатике. Сила инерции (II, действующая на выделенный объем, прямо пропорциональна массе параллелепипед б1и

ат и его ускорению —:

Так как дифференциальные уравнения гидростатики (уравнения Эйлера) записаны для сил, приходящихся н единицу массы жидкости, разделим на (1т силу инерции действующую на жидкий параллелепипед:

В проекции на оси х, у, г эта сила запишется соответственно

Тогда в соответствии с принципом Д’Аламбера дифференциальные уравнения динамики жидкости будут иметь следующий вид:

Эта система носит название система дифференциальных уравнений движения невязкой жидкости Эйлера. В обще случае скорость частицы жидкости и = /(х, у, г, 7), проекци скорости и_х, и_у, и_г также являются функциями четырех аргументов х, у, г, I, а полный дифференциал с1и_х равен.

тогда.

, д йг

Но — = и_г; — ⁼ и_и; — = и_г, и выражение (4.4) можно ей аг

представить в следующем виде:

(1и (1и_г

Аналогичные выражения получим для —- и —:

(к (к

а система (4.3) запишется следующим образом:

72 Глава 4. Основные уравнения движения жидкости.

Это другая форма системы дифференциальных уравнений Эйлера.