Высокоскоростное соударение жестких ударников с деформируемыми преградами

Рассмотрим несколько более подробно двумерную осесимметричную задачу о высокоскоростном соударении жестких ударников различной формы с плоскими однородными и многослойными деформируемыми преградами также в рамках модели Прандтля-Рейса (6), (7), но с учетом конечных деформаций и с выбором различных систем координат (1.8)-(1.24) [270−273].

• 1. Прямоугольная в координатах ?, т? область интегрирования 0
• 0 < т? < 1 (рис. 7.14) ограничена осью симметрии О А с граничными условиями (2.3), свободной от нагрузки (нулевые касательные о_т и нормальные о_п напряжения) нижней границей ОЕ, верхней границей ABCD, на части которой ВС задавались условиям ''прилипания"

и условия отсуствия касательных и нормальных напряжений на остальной части этой границы, а также замыкающей область интегрирования цилиндрической поверхностью ?)?*, выбираемой так, чтобы использованные на ней граничные условия вида Эи (Г,, т?)/Э? =0 практически не влияли на решение внутри области интегрирования. Здесь М — масса ударника.

и₀ — абсолютная величина его начальной скорости. В форме (1.34), (1.35) граничные условия имеют вид.

есть наклон нижней х₂ = Х₂ (/, х_х) и верхней х₂ -Х₂ (/, Xj) границ области интегрирования, определяемых соотношениями типа (1.8), (1.16) — (1.18), (1.22). Система координат Xi = г, х₂ = z, х₃ = <�р, как и в п. 3 из разд. 2, цилиндрическая, начальные условия — недеформированное состояние и (0,, Xj) =0.

Некоторые методические расчеты для цилиндрических ударников (ЛВ = 0) из материала с X = 350, д = 242, к = 1, р₀ = 1 приведены на рис. 7.14—7.16 для случая М = М_р/р₀ х% = 2,2гД v₀ = 5,7, Н = 0,233, ЛС = ЯС = 0,25, ^ = 1.

В случае двухслойной преграды (рис. 7.16) верхняя и нижняя ее части имеют одинаковую толщину Я/2, ВС = 0,25, Л/ = 0,137, для материала верхней части преграды X = 500, д = 400, к = 4,5, р₀ = 2,5. Приведенные на рис. 7.14−7.16 фрагменты разностных сеток в координатах *i = г, х₂ = z показывают типичную их деформацию со временем при использовании лагранжевой (1.14) (рис. 7.14, t = 0,037, сетка 41 X 15 узлов), подвижной эйлеровой (1.19) (рис. 7.15, t = 0,0196, сетка 61 X 15 узлов) и смешанной эйлерово-лагранжевой (1.23) (рис. 7.16, t = 0,067, сетка 61 X 15 узлов) систем координат. Видно, что использование лагранжевой системы приводит к сильному искажению разностной сетки в окрестности угловой точки С, к уменьшению допустимого шага интегрирования по времени, а для более поздних моментов времени — к нарушению регулярного характера разностной сетки и к невозможности дальнейшего расчета без переинтерполяции на новую сетку.

Вместе с тем расчеты в этой системе координат позволяют автоматиче;

ски сосредоточивать наибольшее число узлов разностной сетки в области с большими градиентами искомых параметров и получать по сравнению с другими подходами наиболее точные результаты до момента времени, когда возникает нерегулярность поведения разностной сетки. Использование подвижной эйлеровой системы координат позволяет проводить расчеты для существенно больших моментов времени, поскольку возникновение нерегулярности разностной сетки здесь возможно только из-за появления бесконечно больших значений производных у функций X^t, д^), задаюших форму нижней и верхней границ области интегрирования. Недостатком такой системы координат является необходимость явного выделения внутренних контактных поверхностей для многослойных преград и использование в точках, принадлежащих этим поверхностям, расчетных формул, аналогичных (1.30), (1.32), (1.33). В случае необходимости по направлению Xi = г без особых затруднений может быть произведено сгущение узлов вблизи поверхности г = г_с либо с помощью преобразования независимой переменной Xi = ф (г), не нарушающего ортогональности исходной системы координат jcj — х₃, либо введением неравномерной по координате? разностной сетки вместо (1.15), что для схемы первого порядка точности (1.25) провести достаточно просто. Смешанная эйлерово-лагранжева система координат (1.23) сохраняет положительные качества как подвижной эйлеровой системы координат (1.19), (1.21), так и лагранжевой системы координат (1.14), и в частности позволяет рассчитывать многослойные преграды без явного выделения контактных поверхностей (штриховая линия на рис. 7.16). Приведенное на рис. 7.17 сравнение формы верхней границы области интегрирования х₂ = Х₂ (/, jcj) в момент времени t = 0,016 (когда расчет удается провести во всех трех использовавшихся системах координат) показывает вполне удовлетворительное согласие, причем подвижная эйлерова (сплошная кривая) и смешанная (точки) системы координат дают практически не отличающиеся друг от друга результаты. Лагранжева система координат (крестики) дает несколько отличную и, по-видимому, более точную форму ''валика". Штриховой линией на рис. 7.17 показаны данные расчета с использованием лагранжевой системы координат, в которых формально полагалось /дх_к = 0, / Ф к, и тем Самым не учитывались сдвиговые деформации сеток; штрихпунктирной — расчеты в лагранжевой системе координат с линейной интерполяцией на эйлерову сетку на каждом шаге по времени.

На основании приведенных выше и других аналогичных методических расчетов для исследования процессов высокоскоростного соударения цилиндрических, кольцевых, конических и других абсолютно жестких ударников с деформируемыми пластинами была выбрана подвижная эйлерова система координат, позволяющая проводить расчеты либо вплоть до момента остановки ударника (т.е. получать стационарную картину внедрения), либо до выхода на стационарную скорость внедрения в случаях, соответствующих режимам со сквозным пробиванием преграды конечной толщины. В этих расчетах варьировались начальные скорости ударников и о* ^их форма (цилиндрические, кольцевые, конические и др.), общая масса ударника М и другие определяющие параметры. Некоторые результаты представлены на рис. 7.18−7.29: для материала с X = 350, д = 242, к = 1, ро = 1 (рис. 7.18) и с X = 148, ц = 99, к = 1, р₀ = 1 (рис. 7.19−7.29),.

На рис. 7.18 для трех характерных режимов соударения приведена зависимость от времени скорости v_b абсолютного жесткого ударника, отнесенной к его начальной скорости и₀. Для относительно малых скоростей (кривая /, v₀ =0,228, Н- 1, М- 0,444, А С = ВС= 0,45), когда происходит лишь упругое деформирование материала преграды, пластина совершает гармонические колебания около своего начального положения с периодом г ^ 0,062 и амплитудой скорости ~ 0,34 v₀. Увеличение v₀ и М при;

водит к заметному внедрению ударника в преграду. При этом скорость ударника убывает, вначале осциллируя, а затем монотонно, вплоть до нулевых значений, приводя к останову ударника на некоторой глубине (кривая 2 соответствует v₀ = 1,14; // = 0,233, М = 0,137, АС = ВС = 0,25; кривая 3 — v₀ = 1,14, Я = 1, М = 0,137, АС = ВС = 0,25). Дальнейшее увеличение и₀ и М либо уменьшение Я приводит к выходу ударника на некоторую стационарную скорость внедрения у, (кривая 4 — и₀ = 1,14, М = 0,137, Я = 0,01, АС = ВС = 0,25) и переход от режима 2, 3 к режиму 4 позволяет определить начальную скорость ударника и₀, соответствующую пробиванию преграды.

Важной особенностью рассматриваемых задач является сильное влияние на решение в начальной стадии процесса внедрения радиальных волн разгрузки. В частности, как видно из распределения напряжений а₂₂(?) при г) = 1 (рис. 7.19,я, 7.20,0) и о₂₂(т7) при? = 0 (рис. 7.19,6, 1.20,6), для моментов времени, при которых возмущения от удара жестким цилиндром (рис. 7.19) и конусом (рис. 7.20) с полууглом = я/4 еше не достигли тыльной стороны преграды, влияние радиальных волн на этой начальной стадии процесса внедрения является определяющим. На рис. 7.19,0 кривые 1−8 соответствуют моментам времени t =0; 3,5 -10^_3; 6,4310~³; 1,2−10″ ²; 1,82 10'²; 2,110″²; 2,410″²; 3−10″². На рис. 7.19,5 кривые 1−6 соответствуют / =0; 6,4310″³; 2,11 • 10″²; 2,7• 10″²; 3,4510″ ²; 6,78- КГ².

На рис. 7.20,0 кривые 1−6 соответствуют t = 3,5 -10″³; 6,410″³; 1,2• 10″²; 1,810″ ²; 2,4−10″²; 3,0−10″², а на рис. 1.20,6 кривые / —5 соответствуют t = 3,5• 10″ ³; 6,4−10″³; 1,8−10″²; 2,4−10″²; 3,9-ИГ².

Расчеты проводились для следующих безразмерных параметров задачи: М = 0,174, Vq =2,33, АС = 0,16, Я = 1,0, X = 148, ц =99.

Поведение силы сопротивления во времени представлено на рис. 7.21. Быстрое падение F(/) = / о_пп (5, — проекция поверхности контакта на плоскость х₂ = const) и наличие локального минимума для случая цилиндрического ударника (кривая = 0,5 л) свидетельствуют о возможности ''отскока" ударника, т. е. потери контакта между достаточно тонким ударником и толстой преградой еще до того, как придет отраженная от тыльной стороны преграды (г = 0) волна растяжения, исключительно за счет действия радиальных волн разгрузки. Расчеты показывают также, что в случае цилиндрического удраника осевая симметрия задачи приводит к значительному увеличению амплитуды волн разгрузки, сходящихся к оси *i = 0. Это может вызвать появление растягивающих нормальных напряжений в окрестности оси х₁ = 0, т. е. ''локальный отскок" части контактирующей поверхности, хотя сила сопротивления F < 0.

Для зависимости F (t) в случае ударников с конической головной частью (кривые 2, 3, у = 0,25 л и 0,1 тг) характерным является вначале рост F(/) за счет увеличения площади контакта, а также наличие максимума, соответствующего моменту полного внедрения головной части в преграду. Амплитуда этих максимумов монотонно возрастает с увеличением угла V •.

После точки максимума (абсолютного для ударников с конической головной частью, локального для цилиндрических ударников) сила сопротивления F(г) уменьшается до нуля. Причем ее приближение к нулю, такое, что производная dF/dt в конце процесса даже увеличивается. Это обусловлено тем, что преграда при небольших нагрузках ведет себя упруго, т. е. более жестко, чем в состоянии пластичности.

Зависимость глубины внедрения L и скорости внедрения v_b от времени г для цилиндрических ударников с конической головной частью изображена на рис. 7.22 (штриховые и сплошные линии соответственно). Кривые L (г) имеют монотонный характер, при этом глубина внедрения уменьшается с ростом угла полураствора головной части. Зависимость v_B(t) для цилиндрического (кривая /, F (t) на рис. 7.21. Наличие этой особенности также обусловлено действием радиальных волн разгрузки. С уменьшением угла полураствора конуса у (кривые Д 4: у = 0,25 л и 0,1 л) этот эффект исчезает. Для сильно заостренных ударников характерно слабое падение скорости v_b в начале процесса, далее же производная du_b /dr практически одинакова для любых форм головных частей (при одинаковых прочих параметрах).

Определенный интерес представляют изображенные на рис. 7.23 зависимости силы F = F (у _ь) от текущей скорости внедрения. Видно, что рассчитанное семейство кривых, зависящих от формы головной части ударника, можно разделить на две части: правую, где имеются существенные различия, и левую, где кривые практически совпадают. Граница этих областей определена положением крайних правых максимумов на рис. 7.21. Параметрически зависимость силы сопротивления от скорости внедрения можно представить в виде.

где х ~ параметр формы головной части ударника (для конических головных частей в качестве х можно выбрать угол полураствора <�р); К* - скорость ударника в момент полного внедрения наиболее заостренной головной части.

Таким образом, различие форм головных частей сказывается на зависимости F (v ь) лишь в начальной стадии осесимметричного процесса соударения жестких тел вращения с упругопластической преградой. Этот факт полностью согласуется с выводами [280], где аналогичный результат установлен экспериментально для цилиндрических ударников с различными коническими головными частями и может быть использован при создании расчетно-аналитических, инженерных моделей процессов внедрения.

Стационарная картина внедрения ударников различной формы в однослойную преграду конечной толщи при М= 0,174, X = 148, pi = 99, ро ⁼ 1, и о ⁼ 2,33, Я = 1 представлена на рис. 7.24. Для этих же условий на рис. 7.25 показано влияние угла конического ударника на аналогичную картину внедрения (а —<�р = 90 °, б — = 72 °, в — «р = 45, г — = 18 °), а на рис. 7.26 — влияние толщины преграды Я (а — Н = 5; б — Я = 2,5; в — Я = = 1; г — Я = 0,85, t = 0,57) для конического ударника с = 0,25 я. В случае Я= 0,85 вместо остановки ударника наблюдается выход на стационарную скорость внедрения v_b «0,42, т. е. в этом случае происходит сквозное пробивание преграды.

Для кольцевых ударников отличительной чертой является существенная зависимость стационарного (после остановки ударника) верхнего и нижнего уровней материала преграда в области зазора от величины диаметра зазора таких ударников. Как видно из приведенных на рис. 7.27, 7.28 стационарных картин внедрения кольцевых ударников с малым зазором (рис. 7.27: А В = 0,016, v₀ = 2,12, М = 0,162, Я = 1,2 X АС = 0,318) и с большой его величиной (рис. 7.28: АВ = 0,109, Н = 1, v ₀ = 2,12, М = 0,162, 2/1С = 0318), в первом случае верхний уровень материала в зазоре заметно ниже среднего уровня верхней границы преграды, хотя и выше уровня заглубления ударника, а во втором случае, наоборот, наблюдается более высокий по сравнению со средним уровень материала в зазоре.

Для прогнозирования областей возможных разрушений рассчитывались поля плотности оаботы напряжений на пластических деформациях.

и максимальных главных напряжений.

На рис. 7.29 для начальной стадии процесса внедрения, когда возникают наибольшие напряжения, представлены изолинии/1_р и Oj (штриховые и сплошные линии соответственно), откуда видно, что область разрушений сдвига, при котором в качестве критерия выступает пластическая работа А_р, наиболее вероятна у острия и краев конуса. Разрушение же, обусловленное действием растягивающих напряжений, может локализоваться у тыльной поверхности преграды после взаимодействия с этой поверхностью ударной волны сжатия.

В заключение этого пункта отметим, что сравнение результатов расчетов для двух типов граничных условий на контактной поверхности цилиндрический ударник — преграда (условия полного слипания и скольжения без трения) показало разницу по величине глубины внедрения не более 2%.