Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения Гельмгольца

Общая характеристика работы.

Актуальность темы

Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.

Впервые задача для уравнения смешанного типа была рассмотрена С. А. Чаплыгиным в работе [35] приминительно к проблеме течения потока газа. В ней были изучены частные решения следующего уравнения дЧ ", дЧ w + к{а) w = (1) где коэффициент К{а) монотонно возрастает, положителен при, а > О (дозвуковая скорость) и отрицателен при, а < 0 (сверхзвуковая скорость) — таким образом, при переходе из дозвуковой области в сверхзвуковую уравнение изменяет тип с эллиптического на гиперболический.

Фундаментальное значение для последующего развития теории уравнений смешанного типа имела опубликованная в 1923 г. работа Ф. Трикоми (см. [32]). В этой работе была поставлена краевая задача для уравнения уихх + иуу = 0 (2) в области, ограниченной при у > 0 простой дугой Жордана Г с концами в точках .А (0,0) и ?(1,0), а при у < 0 — характеристиками уравнения (2), выходящими из точек, А я В и пересекающимися в некоторой точке С, при этом граничные значения заданы на Г и на характеристике АС. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи.

Обобщение результатов Трикоми на случай уравнения sign (y)ymuxx + uyy = 0, т > О, было сделано Геллерстедтомкроме того, им была построена функция Грина для решения задачи в эллиптической части области.

В 50-ых годах прошлого века А. В. Бицадзе и М. А. Лаврентьев предложили рассматривать модельное уравнение [6] смешанного типа.

Одним из преимуществ, которые возникают при рассмотрении модельного уравнения (4) вместо уравнения (3), является возможность применения теории функций комплексного переменного. Это позволяет рассматривать решения задач в терминах аналитических функций и использовать при построении решений хорошо разработанную теорию краевых задач для таких функций (см. [7], [24]).

Ф. И. Франкль [33] доказал единственнность решения краевой задачи для уравнения (1) при некоторых ограничениях на коэффициент К (а). Франклем [34] была поставлена задача для уравнения (1) в области, граница которой в гиперболической части отходит от характеристики внутрь области, причем граничные значения заданы на этом участке границы и на дуге, ограничивающей эллиптическую часть области. Франкль доказал единственность решения данной задачи, а также существование в случае, когда нехарактеристический участок границы достаточно близок к характеристике.

В 1956 году Ф. И. Франкль [34] предложил смешанную задачу для уравнения Чаплыгина (1) с нелокальным условием.

Доказательство единственности и существования решения поставленной задачи можно найти в [6].

Новые краевые задачи для уравнений смешанного типа, в том числе задачи для неоднородного уравнения, задачи для уравнений sign (y)uxx + Uyy = 0.

4) к (0, у) — 7/(0, -у) = f (y), -1 < у < 1. смешанного типа второго рода, задачи со спектральным параметром, были поставлены и изучены в работах многих авторов К. И. Бабенко, В. Н. Врагова, И. М. Гельфанда, Т. Д. Джураева, А. Н. Зарубина, В. А. Ильина, Н. И. Ионкина, Т. Ш. Кальменова, Н. Ю. Капустина, А. С. Макина, Е. И. Моисеева, A.M. Нахушева, А. А. Полосина, А. В. Псху, К. Б. Сабитова, М. С. Салахитдинова, А. П. Солдатова, C.S. Morawetz, М.Н. Protter.

Спектральный метод является одним из наиболее эффективных методов исследования задач математической физики. Изучение спектральным методом нелокальных краевых задач математической физики позволяет исследовать корректность постановки задачи, выявить структурные свойства решений и дает возможность получения точных априорных оценок решений.

Спектральные свойства задач для уравнения смешанного типа активно изучались с 80-ых годов прошлого столетия. С. М. Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лавреньтева-Бицадзе (4) и доказал их полноту в эллиптической части области, являющейся круговым сектором. Е. И. Моисеев доказал базисность этой системы и, используя свойство базисности, построил спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. В частности, для уравнения (4) решения удалось получить в виде ряда в некоторых специальных областях, также были получены интегральные представления решений. Для уравнения (4) решения были получены в виде ряда.

Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения Лавреньтева-Бицадзе была доказана К. Б. Сабитовым и А. Н. Кучкаровой [29]. Полнота собственных функций задач Трикоми, Неймана-Трикоми, Геллерстедта для уравнения.

IУт+1ихх + уиуу + quy + Aym+lu = 0, q < 1, m > -2. (5) была доказана E. И. Моисеевым и Ф. Могими [18] при условии т + 2q > 0.

Спектральные вопросы видоизмененной задачи Франкля для уравнений смешанного типа начали рассматриваться относительно недавно в работах Е. И. Моисеева и его учеников. В частности, вопросами полноты, базисности собственных функций в эллиптической части области видоизмененной задачи Франкля с условием сшивания первого рода занимался АббасиН. [2].

Цель работы. Целью работы является исследование вопросов полноты, базисности и минимальности собственных функций видоизмененной задачи Франкля с условием сшивания второго рода в зависимости от параметра задачи. Также целыо является изучение свойств полноты и базисности систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах и, далее, доказательство единственности и существования путем построения аналитического решения нелокальных краевых задач в полукруге для операторов Лапласа и Гельмгольца, являющимися аналогами задачи Франкля.

Методы исследования. Собственные функции видоизменной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода выписываются с помощью метода разделения переменных с использованием функций Бесселя. Базисность Рисса, полнота, минимальность собственных функций задачи исследуются с помощью теорем о базисности систем синусов и косинусов в пространстве Lp, а также с использованием свойства ортонормированности системы функций Бесселя, являющейся решением соответствующей краевой задачи. Полнота и базисность в различных пространствах систем типа Самарского-Ионкина были изучены с привлечением свойств полноты и базисности синусов и косинусов в соответствующих пространствах. С помощью доказанных свойств систем типа Самарского-Ионкина было получено решение в явном аналитическом виде различных нелокальных краевых задач в полукруге для уравнений Лапласа и Гельмгольца. Единственность нелокальных краевых задач для уравнения Лапласа была доказана с помощью принципа максимума и принципа Зарембы-Жиро. Единственность нелокальных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полукруге была доказана построением функции Грина, применением второй формулы Грина и теории Гильберта-Шмидта для самосопряженных положительно определенных операторов.

Научная новизна. В первой главе построено решение видоизменной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода. Далее, при четном и нечетном условии сшивания изучен вопрос базисности Рисса, полноты, минимальности соответствующей системы собственных функций в пространстве L, 2(D+) в эллиптической части области в зависимости от параметра (коэффициента зависимости) задачи. Показано также, что при нулевом коэффициенте зависимости в гиперболической части области решение становится тривиальным, а в эллиптической части полученные собственные функции образуют базис Рисса, что согласуется с общим результатом. Ранее была изучена видоизменная задача Франкля с нелокальным условием сшивания первого рода.

Во второй главе изучены полнота и базисность систем типа Самарского-Ионкина в пространствах С[0,7г]- Lp[0, тг] р > 1- 7r], р > 1, I € N. Ранее аналогичные системы были изучены в L2[0, тг] и Lp{K) р > 1, где К—любой компакт интервала (0, тс). На основе полученных результатов получено в аналитическом виде классическое решение некоторых нелокальных краевых задач для оператора Лапласа в полукруге. Кроме того, была доказана единственность этих задач.

В третьей главе изучены различные нелокальные краевые задачи для уравнений Гельмгольца в полукруге. Были найдены условия единственности. На основе доказанных свойств систем типа Самарского-Ионкина и асимптотики производной по порядку функции Бесселя при больших значениях порядка построено в аналитическом виде классическое решение поставленных задач. Удалось доказать, что при четном нелокальном условии суммирование собственных и присоединенных функций можно произвести независимо друг от друга.

Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории нелокальных краевых задач для уравнений математической физики.

Апробация результатов работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова, а также на конференции «Тихоновские чтения» в октябре 2009 года.

Публикации. Основные результаты работы подготовлены и оформлены в семи статьях [38]- [44]. Статьи [38]- [41] опубликованы, статьи [42]- [44] направлены в печать.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на разделы, и списка литературы. В работе иснользована сквозная тройная нумерация теорем, лемм, замечаний, следствий, в которой первая часть номера соответствует номеру главы, вторая часть указывает на номер раздела в главе, а третья — на номер в разделе. В формулах использована сквозная двойная нумерация: номер главы, помер формулы.

Список литературы

состоит из 44 наименований. Общий объем диссертации составляет 131 страниц.

1. Аббаси Н. Базисность и полнота собственных функций задачи Франкля // Докл. РАН. 2009. Т.425 № 3. С.295−298.

2. Аббаси Н. Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа. Дисс. кандидата физ.-мат. наук. — М., 2009.

3. БариН. К. Тригонометрические ряды. Гос. изд. физ.-мат. литературы. Москва. 1961.

4. Бейтман ГЭрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М., 1973. Т.1.

5. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М., 1973. Т.2.

6. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. Москва «Наука», 1981.

7. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М., 1977.

8. Гельфанд И. М. Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. Гос. изд. физ.-мат. лит. 1958.

9. Девенгталъ Ю. В. О существовании решения одной задачи Ф. И Франкля // Докл. АН СССР, 1958, т. 119, с. 15−18.

10. ЗарубинА.Е. Исследование начально-краевых задач для уравнения смешанного типа с запаздывающим аргументом. Дисс. доктора физ.-мат. наук. 1996.

11. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. Издательство «МИР». Москва. 1965.

12. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности в 1Р и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений и разложений по системам экспонент // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, N 4. С. 789−793.

13. Ильин В. А. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций дифференциального оператора второго порядка // Докл. АН СССР. 1983. Т. 273, N 5. С. 1048−1053.

14. Капустин Н. Ю., Моисеев Е. И. О базисности в пространстве Lp систем собственных функций, отвечающих двум задачам со спектральным параметром в граничном условии // Дифференциальные уравнения. 2000. Т.36, то. С. 1357−1360.

15. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. Государственное издательство физико-математической литературы. Москва. 1958.

16. Кузьмин А. Г. Неклассические уравнения смешаного типа и их приложения к газодинамике. ЛГУ, 1990.

17. МакинА. С. О свойствах корневых функций и спектральных разложений, отвечающих несамосопряженным дифференциальным операторам. Дисс. доктора физ.-мат. наук. — М., 2001.

18. Могими Ф. Мохаммад Багер. Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с ней двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа. Дисс. кандидата физ.-мат. наук. — М., 2005.

19. Моисеев Е. И. Дифференц. уравнения. 1992. Т 28. № 4. С.721−723.

20. Моисеев Е. И. О базисности систем синусов и косинусов // Докл. АН СССР. 1984. Т.275 № 4. С.794−798.

21. Моисеев Е. И. О базисности одной системы синусов // Дифференциальные уравнения. 1987. Т.23, Ш. С.177−179.

22. Моисеев Е. И., Аббаси Н. Базисность собственных функций одной обобщенной газодинамической задачи Франкля с нелокальным условием четности и с разрывом градиента решения // Дифференциальные уравнения. 2009. Т.45, № 10. С. 1452−1456.

23. Моисеев Т. Е. О неединственности решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа // Дифференциальные уравнения. 2008. Т.44, № 5. С.712−714.

24. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1962.

25. Нахушев A.M., Бжихатлов Х. Г. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа // ДАН СССР. 1968. Т. 183. № 2. С. 261−264.

26. Полосин А. А. О регулярной разрешимости некоторых краевых задач для уравнений смешанного типа. Дисс. кандидата физ.-мат. наук. — М., 1996.

27. Пономарев С. М. Докл. АН СССР. 1979. Т.249 № 5. С. 1068−1070.

28. ПсхуА.В. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными дробного и континуального порядка. Дисс. доктора физ.-мат. наук. — М., 2007.

29. Сабитов К. Б., Кучкарова А. Н. Спектральные свойства решения задачи Геллерстедта для уравнения смешанного типа и их применения // Сиб. мат. ж. 2001. Т42. № 5. С. 1147−1161.

30. Смирнов М. М. Уравнения смешаного типа. Москва. 1970.

31. ТеляковскийС. А. О работах по теории приближения функций, выполненных в МИАНе // Труды Математического института АН СССР. 1988, т. 182, С. 128−179.

32. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М., 1947.

33. Франклъ Ф. И. О задачах Чаплыгина для смешанных дои сверхзвуковых течений // Изв. АН СССР, Сер. матем. 9, 2, 1945, 121 142.

34. Франклъ Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. М., 1973.

35. Чаплыгин С. А. Полное собрание сочинений, Т. 2. «О газовых струях». АН СССР, 1933.

36. Cathleen S. Morawetz Note on a Maximum Principle and a Uniqueness Theorem for an Elliptic-Hyperbolic Equation // Proc. R. Soc. Lond. A July 10, 1956, 236, pp. 141−144.

37. Protter M. H. An existence thorem for the generalized Tricomi problem // Duke Math. J., 1954, v 21, pp. 1−7.

38. Моисеев E. И., Амбарцумян В. Э. О базисности собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности второго рода // Дифференциальные уравнения. 2009. Т.45, № 12. С. 1735−1740.

39. Моисеев Е. И., Амбарцумян В. Э. О базисности собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности и нечетности второго рода // Докл. РАН. 2010. Т.432 № 4. С.1−5.

40. MoiseevE. I., AmbarLsumyan V. Е. On the Basis Property of Eigenfunctions of the Frankl Problem with a Nonlocal Oddness Condition of the Second Kind // Integral Transforms and Special Functions. 2010. V. 21. No 5/6. P. 340−349.

41. Моисеев Е. И., Амбарцумян В. Э. О разрешимости нелокальной краевой задачи с равенством потоков на части границы и сопряженной к ней задачи // Дифференциальные уравнения. 2010. Т.46, № 5. С.718−725.

42. Моисеев Е. И., Амбарцумян В. Э. О разрешимости нелокальной краевой задачи с противоположными потоками на части границы и сопряженной к ней задачи // Дифференциальные уравнения. 2010. Т.46,т.

43. MoiseevE. I., Ambartsumyan V. Е. On the solvability of nonlocal boundary value problem for the Helmholtz equation with the equality of flows at the part of the boundary and conjugated to its problem // Integral Transforms and Special Functions. 2010.

44. Моисеев E. И., Амбарцумян В. Э. Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полукруге // Докл. РАН. 2010. Московский государственный университетимени М.В. Ломоносоваe-mail: vagraml983@yandex.ru.