Функции двух аргументов

В подходе Гете к проблеме Прометея — Эппметея мы видим попытку рассматривать высоко дифференцированную функцию как соответствующую христианским идеалам предпочтения добра.

Карл Густав Юнг, «Проблема типов в поэзии».

В математическом анализе и его приложениях функциональная зависимость нередко связывает не две, как мы рассматривали до сих пор, а три переменные величины. Например, объем кругового цилиндра зависит от радиуса его основания и высоты; пробег автомобиля зависит от количества и качества бензина; финансирование студенческой группы зависит от числа студентов и размера стипендии; температура в точках электрической плиты неодинакова, она зависит от выбранной точки, т. е. от двух ее координат на координатной плоскости; урожайность зависит от свойств почвы и количества внесенных удобрений (не говоря уже о радении тружеников полей!) и т. п.

Изучив эту главу, студент должен:

знать:

• • определение функции двух аргументов;
• • графики функций двух аргументов, в частности плоскости и поверхности 2-го порядка;
• • частные производные и полный дифференциал функции двух аргументов;
• • необходимое и достаточное условия экстремума;

уметь:

• • находить область определения функции двух аргументов и линии уровня;
• • дифференцировать сложные и неявные функции двух аргументов;
• • находить экстремумы функции двух аргументов;

владеть:

• техникой решения вышеназванных задач.

Абстрагируясь от физической природы явлений, мы приходим к математическому понятию функции. Приведем следующее определение.

Основное определение. Переменная 2 называется функцией двух независимых переменных х, у, если каждой паре (х, у) по некоторому правилу (закону) ставится в соответствие одно определенное значение 2.

Чаще всего это определение выражают символической записью

Независимые переменные называют также аргументами. Как аргументы, так и функция принимают те или иные числовые значения.

Обычно в математических задачах в качестве f (x> у) выступает некоторое аналитическое выражение, содержащее х и у. В таких случаях говорят, что функция задается формулой, например, z = А — х — у, z = yjA-x²-у² и т. п. В общем случае буква / символизирует закон соответствия, который позволяет по каждой паре значений аргументов найти определенное, единственное значение функции. Множество пар допустимых значений аргументов называется областью определения функции.

Обратим внимание на существенные аспекты в определении функции. Прежде всего необходимы область определения и некоторое правило (закон) соответствия /. Между тем в формулировке определения эти требования не конкретизируются, они носят заведомо абстрактный, отвлеченный характер: ни область определения, ни закон соответствия конкретно не названы, ибо в общем виде какого-либо физического содержания или иного смысла ни аргументам, ни функции не приписывается. Благодаря такой общности, характерной для математики, появляется возможность прилагать абстрактно получаемые теоретические результаты к разнообразным, непохожим одна на другую задачам из разных областей человеческой деятельности.