Загадочное кружение. 
Занимательная геометрия

По поводу кружения Твена в темной комнате интересно отметить одно загадочное явление, которое наблюдается у людей, бродящих с закрытыми глазами: они не могут идти по прямому направлению, а непременно сбиваются в сторону, описывая дугу, воображая, однако, что движутся прямо вперед (рис. 110).

Давно замечено также, что и путешественники, странствующие без компаса по пустыне, по степи в метель или в туманную погоду, — вообще во всех случаях, когда нет возможности ориентироваться, — сбиваются с прямого пути и блуждают по кругу, по несколько раз возвращаясь к одному и тому же месту. Радиус круга, описываемого при этом пешеходом, — около 60—100 м; чем быстрее ходьба, тем радиус круга меньше, т. е. тем теснее замыкаемые круги.

Производились даже специальные опыты для изучения склонности людей сбиваться с прямого пути на круговой. Вот что сообщает о таких опытах Герой Советского Союза И. Спирин:

«На гладком зеленом аэродроме были выстроены сто будущих летчиков. Всем им завязали глаза и предложили идти прямо вперед. Люди пошли… Сперва они шли прямо; потом одни стали забирать вправо, другие — влево, постепенно начали делать круги, возвращаясь к своим старым следам».

Рис. 110. Ходьба с закрытыми глазами.

Известен аналогичный опыт в Венеции на площади Святого Марка. Людям завязывали глаза, ставили их на одном конце площади, как раз против собора, и предлагали до него дойти. Хотя пройти надо было всего только 175 м, все же ни один из испытуемых не дошел до фасада здания (82 м ширины), а все уклонялись в сторону, описывали дугу и упирались в одну из боковых колоннад (рис. 111).

Рис. 111. Схема опыта на площади Святого Марка в Венеции.

Кто читал роман Жюля Верна «Приключения капитана Гаттераса», тот помнит, вероятно, эпизод о том, как путешественники наткнулись в снежной необитаемой пустыне на чьи-то следы:

«—Это наши следы, друзья мои!— воскликнул доктор. — Мы заблудились в тумане и набрели на свои же собственные следы…».

Классическое описание подобного блуждания по кругу оставил нам Л. Н. Толстой в «Хозяине и работнике»:

«Василий Андреич гнал лошадь туда, где он почему-то предполагал лес и сторожку. Снег слепил ему глаза, а ветер, казалось, хотел остановить его, но он, нагнувшись вперед, не переставая, гнал лошадь.

Минут пять он ехал, как ему казалось, все прямо, ничего не видя, кроме головы лошади и белой пустыни.

Вдруг перед ним зачернело что-то. Сердце радостно забилось в нем, и он поехал на это черное, уже видя в нем стены домов деревни. Но черное это было выросший на меже высокий чернобыльник… И почему-то вид этого чернобыльника, мучимого немилосердным ветром, заставил содрогнуться Василия Андреича, и он поспешно стал погонять лошадь, не замечая того, что, подъезжая к чернобыльнику, он совершенно изменил прежнее направление.

Опять впереди его зачернело что-то. Это была опять межа, поросшая чернобыльником. Опять так же отчаянно трепался сухой бурьян. Подле него шел конный, заносимый ветром след. Василий Андреич остановился, нагнулся, пригляделся: это был лошадиный, слегка занесенный след и не мог быть ничей иной, как его собственный. Он, очевидно, кружился, и на небольшом пространстве".

Норвежский физиолог Гульдберг, посвятивший кружению специальное исследование (1896 г.), собрал ряд тщательно проверенных свидетельств о подлинных случаях подобного рода. Приведем два примера.

Трое путников намеревались в снежную ночь покинуть сторожку и выбраться из долины шириною в 4 км, чтобы достичь своего дома, расположенного в направле;

трех путников нии, которое на прилагаемом рисунке отмечено пунктиром (рис. 112). В пути они незаметно уклонились вправо, по кривой, отмеченной стрелкой. Пройдя некоторое расстояние, они, по расчету времени, полагали, что достигли цели, — на самом же Рис. 112. Схема блужданий деле очутились у той же сторожки, которую покинули.

Отправившись в путь вторично, они уклонились еще сильнее и снова дошли до исходного пункта. То же повторилось в третий и четвертый раз. В отчаянии предприняли они пятую попытку, — но с тем же результатом. После пятого круга они отказались от дальнейших попыток выбраться из долины и дождались утра.

Еще труднее грести на море по прямой линии в темную беззвездную ночь или в густой туман. Отмечен случай, — один из многих подобных, — когда гребцы, решив переплыть в туманную погоду пролив шириною в 4 км, дважды побывали у противоположного берега, но не достигли его, а бессознательно описали два круга и высадились, наконец… в месте своего отправления (рис. 113).

То же случается и с животными. Полярные путешественники рассказывают о кругах, которые описывают в снежных пустынях животные, запряженные в сани. Собаки, которых пускают плавать с завязанными глазами, также описывают в воде круги. По кругу же летят и ослепленные птицы. Затравленный зверь, лишившийся от страха способности ориентироваться, спасается не по прямой линии, а по спирали.

Рис. 113-. Как гребцы пытались переплыть пролив в туманную погоду.

Зоологи установили, что головастики, крабы, медузы, даже микроскопические амебы в капле воды — все движутся по кругу.

Чем же объясняется загадочная приверженность человека и животных к кругу, невозможность держаться в темноте прямого направления?

Вопрос сразу утратит в наших глазах окутывающую его мнимую таинственность, если мы его правильно поставим.

Спросим не о том, почему животные движутся по кругу, а о том, что им необходимо для движения по прямой линии?

Вспомните, как движется игрушечная заводная тележка. Бывает и так, что тележка катится не по прямой, а сворачивает в сторону.

В этом движении по дуге никто не увидит ничего загадочного. Каждый догадается, отчего это происходит! Очевидно, правые колеса не равны левым.

Понятно, что и живое существо в том лишь случае может без помощи глаз двигаться в точности по прямой линии, если мускулы его правой и левой сторон работают совершенно одинаково. Но в том-то и дело, что симметрия тела человека и животных неполная. У огромного большинства людей и животных мускулы правой стороны тела развиты неодинаково с мускулами левой. Естественно, что пешеход, все время выносящий правую ногу немного дальше, чем левую, не сможет держаться прямой линии; если глаза не помогут ему выправлять его путь, он неизбежно будет забирать влево. Точно так же и гребец, когда он из-за тумана лишен возможности ориентироваться, неизбежно будет забирать влево, если его правая рука работает сильнее левой. Это геометрическая необходимость.

Представьте себе, например, что, занося левую ногу, человек делает шаг на миллиметр длиннее, чем правой ногой. Тогда, сделав попеременно каждой ногой тысячу шагов, человек опишет левой ногой путь на 1000 мм, т. е. на целый метр, длиннее, чем правой. На прямых параллельных путях это невозможно, зато вполне осуществимо на концентрических окружностях.

Мы можем даже, пользуясь планом описанного выше кружения в снежной долине, вычислить, насколько у тех путников левая нога делала более длинный шаг, чем правая (так как путь загибался вправо, то ясно, что более длинные шаги делала именно левая нога). Расстояние между линиями отпечатков правой и левой ног при ходьбе (рис. 114) равно примерно 10 см, т. е. 0,1 м. Когда человек описывает один полный круг, его правая нога проходит путь 2nR, а левая 2n (R + 0,1), где R — радиус этого круга в метрах. Разность 2n (R + 0,1) — 2nR = 2я0,1, т. е. 0,62 м, или 620 мм, составилась из разницы между длиною левого и правого шагов, повторенной столько раз, сколько сделано было шагов. Из рис. 112 можно вывести, что путники наши описывали круги диаметром примерно 3,5 км, т. е. длиною около 10 000 м. При средней длине шага 0,7 м на протяжении этого пути было сдела;

10 000 _1/1ААА —_ААА

но — = 14 000 шагов; из них 7000 правой ногой и.

0,7.

столько же левой. Итак, мы узнали, что 7000 «левых» шагов больше 7000 «правых» шагов на 620 мм. Отсюда.

один левый шаг длиннее одного правого на — мм,.

или менее чем на 0,1 мм. Вот какая ничтожная разница в шагах достаточна, чтобы вызвать столь поражающий результат!

Рис. 114. Линии отпечатков правой и левой ног при ходьбе.

Радиус того круга, который блуждающий описывает, зависит от разности длин «правого» и «левого» шагов. Эту зависимость нетрудно установить. Число шагов, сделанных на протяжении одного круга, при длине шага _л _ 2nR

• 0,7 м равно -, где R — радиус круга в метрах; из них
• 0,7
• 2nR -

«левых» шагов — и столько же «правых». Умножив.

2−0,7.

это число на величину разности х длины шагов, получим разность длин тех концентрических кругов, которые описаны левой и правой ногами, т. е.

где R и х в метрах.

По этой простой формуле легко вычислить радиус круга, когда известна разность шагов, и обратно. Например, для участников опыта на площади Святого Марка в Венеции мы можем установить наибольшую величину радиуса кругов, описанных ими при ходьбе. Действительно, так как ни один не дошел до фасада DE здания (см. рис. 111), то по «стрелке» АС = 41 м и хорде ВС, не превышающей 175 м, можно вычислить максимальный радиус дуги АВ. Он определяется из равенства.

откуда R, максимальный радиус, будет около 370 м.

Зная это, мы из полученной раньше формулы /?х = 0,14 определяем наименьшую величину разности длины шагов:

Итак, разница в длине правых и левых шагов у участников опыта не менее 0,4 мм.

Иногда приходится читать и слышать, что факт кружения при ходьбе вслепую зависит от различия в длине правой и левой ног; так как левая нога у большинства людей длиннее правой, то люди при ходьбе должны неизбежно уклоняться вправо от прямого направления. Такое объяснение основано на геометрической ошибке. Важна разная длина шагов, а не ног. Из рис. 115 ясно, что и при наличии разницы в длине ног можно все же делать строго одинаковые шаги, если выносить при ходьбе каждую ногу на одинаковый угол, т. е. так шагать, чтобы Z.B 1 = /.В. Так как при этом всегда АВ =АВ и B[Ci=BC, то ААВС = ААВС и, следовательно, АС = СА. Наоборот, при строго одинаковой длине ног шаги могут быть различной длины, если одна нога дальше выносится при ходьбе, нежели другая.

Рис. 115. Если угол каждого шага один и тот же, то шаги будут строго одинаковыми.

По сходной причине лодочник, гребущий правой рукой сильнее, чем левой, должен неизбежно увлекать лодку по кругу, загибая в левую сторону. Животные, делающие неодинаковые шаги правыми или левыми ногами, или птицы, делающие неравной силы взмахи правым и левым крылом, также должны двигаться по кругам всякий раз, когда лишены возможности контролировать прямолинейное направление зрением. Здесь тоже достаточно весьма незначительной разницы в силе рук, ног или крыльев.

При таком взгляде на дело указанные раньше факты утрачивают свою таинственность и становятся вполне естественными. Удивительно было бы, если бы люди и животные, наоборот, могли выдерживать прямое направление, не контролируя его глазами. Ведь необходимым условием для этого является строго геометрическая симметрия тела, абсолютно невозможная для произведения живой природы. Малейшее же уклонение от математически совершенной симметрии должно повлечь за собою, как неизбежное следствие, движение по дуге. Чудо не то, чему мы здесь удивляемся, а то, что мы готовы были считать естественным.

Невозможность держаться прямого пути не составляет для человека существенной помехи: компас, дороги, карты спасают его в большинстве случаев от последствий этого недостатка.

Не то у животных, особенно у обитателей пустынь, степей, безграничного морского простора: для них несимметричность тела, заставляющая их описывать круги вместо прямых линий, — важный жизненный фактор. Словно невидимой цепью приковывает он их к месту рождения, лишая возможности удаляться от него скольконибудь значительно. Лев, отважившийся уйти подальше в пустыню, неизбежно возвращается обратно. Чайки, покидающие родные скалы для полета в открытое море, не могут не возвращаться к гнезду (тем загадочнее, однако, далекие перелеты птиц, пересекающие по прямому направлению материки и океаны).