Вычисление собственных значений и собственных векторов матриц

Вычисление этих характеристик матриц является одной из распространенных операций, выполняемых над матрицами. По сложности реализации определение собственных векторов является весьма трудоемким, поскольку при известных значениях характеристических корней вычисление собственных векторов сводится к поиску ненулевых решений систем однородных уравнений.

Методы отыскания собственных значений матриц, основанные на вычислении корней характеристического полинома, требуют при реализации развертывания определителя. Корни полинома определяются затем каким-либо методом решения алгебраических уравнений. Пример. Пусть дана матрица.

Определить собственные значения и собственные векторы.

Решение. Запишем характеристический определитель и раскроем его.

Корнями характеристического полинома или собственными значениями матрицы А будут Л, = -2; Л₂ = -5.

Для того чтобы определить собственный вектор для Л| = -2, рассмотрим систему уравнений.

решение которой с точностью до постоянного множителя к запишется как х{^ = 2к, = к . Если положить к = 1, собст;

(А

венный вектор для Я, = -2 будет Аналогично, решая систему уравнений для Я = -5.

найдем, что при Я = -5 собственным вектором будет вектор

Метод отыскания собственных значений, основанный на решении характеристического многочлена, хотя и позволяет определить все собственные значения, однако прямое его применение весьма сложно, особенно при развертывании определителя высокого порядка. Поэтому для вычислительных машин обычно используются методы, основанные на предварительном преобразовании определителя к виду, из которого уже относительно просто найти коэффициенты характеристического полинома.

Метод Якоби. Пусть А — квадратная симметрическая матрица с действительными коэффициентами. Матрица В, полученная в результате преобразования.

является подобной матрице А и имеет те же собственные значения (включая их кратности), что и матрица А. Если полученная таким образом матрица В является диагональной, то ее диагональные элементы будут собственными значениями матрицы А. Очевидно, собственными векторами диагональной матрицы В будут единичные векторы С^ЛСе, = A_ie_i.

Отсюда следует, что А Се, = Се, т. е. собственные векторы матрицы А являются столбцами матрицы С

В методе Якоби для приведения матрицы А к диагональному виду с помощью преобразования подобия (55) используется ортогональная матрица С, для которой имеет место равенство С^г = С"¹. Ортогональная матрица С в этом методе определяется как предел последовательности элементарных преобразований, осуществляемых над элементами матрицы А с помощью ортогональных матриц вида (56).

у которых:

• — все элементы главной диагонали, кроме элементов, расположенных в / и/ строках, равны единице;
• — диагональные элементы, расположенные в / иу строках, равны cos #?;
• — элементы, расположенные на пересечении / строки и j столбца, а также j строки и / столбца равны соответственно — sin #? и sin #?. Применение одного такого преобразования к матрице А равносильно повороту на угол #?. Результатом однократного применения преобразования с помощью матрицы Со будет матрица Л, =Cq'AC₀, отличающаяся от матрицы А лишь элементами, расположенными в строках и столбцах с номерами i и j, вычисляемых через элементы матрицы А по формулам:

Угол поворота <�р выбирается таким образом, чтобы элемент а^х_и обращался в нуль, а поскольку преобразуемая матрица симметрична, одновременно обращается в нуль и элемент а,. Таким образом,.

Применяя последовательно это преобразование к матрице А, в пределе можно получить диагональную матрицу, элементы которой есть собственные значения.

На каждом шаге вращения в качестве элемента a_tj выбирается наибольший элемент матрицы, не лежащий на главной диагонали. Поскольку процесс преобразования матрицы осуществляется итерационным способом, то при каждом вращении производится проверка на окончание. Для этого задается некоторая точность, с которой сравниваются по абсолютной величине все недиагональные элементы матрицы В.

Допустим, что заданная точность обеспечивается после выполнения п вращений. Тогда диагональная матрица В будет представляться как.

а матрица собственных векторов как.

Метод унитарных преобразований. Этот метод является обобщением метода Якоби для случая произвольных несимметрических матриц. В нем также используется преобразование подобия (55), однако в отличие от метода Якоби исходная матрица А преобразуется не к диагональной, а к треугольной форме. Диагональные элементы преобразованной матрицы В при этом совпадают с собственными значениями исходной матрицы А.

Для преобразования матрицы А к треугольной форме используется унитарная матрица С, т. е. такая матрица, для которой

где С ^т — комплексно-сопряженная транспонированная матрица С.

Матрица С определяется как последовательность элементарных преобразований над матрицей А, выполняемых с использованием унитарных матриц вида.

где черта сверху означает переход к комплексносопряженному числу.

Поскольку преобразование, определяемое матрицей (56) унитарно, для элементов матрицы должно выполняться условие.

Число а в матрице (57) всегда действительное, а число с в общем случае комплексное.

Как и в методе Якоби, в результате однократного преобразования с использованием матрицы (57) в преобразованной матрице изменяются лишь элементы, расположенные в строках и столбцах с номерами j и к. Новые значения элементов при этом вычисляются по формулам:

Элементы матрицы преобразования (57) выбираются таким образом, чтобы на каждом шаге в преобразованной матрице обращался в нуль один из элементов, расположенных ниже главной диагонали, т. е. элемент a'_kj. Условие равенства нулю a'_kj дает два уравнения, которые совместно с уравнением (58) позволяют определить три неизвестных: а, действительную и мнимую части числа с. Воспользовавшись за;

( I, 2 V⁰*⁵ ( I, 2 V⁰-⁵

меной неизвестных, а = |1 +1/*| j, с = /г (1 +1 //1 j = /яг, можно привести уравнение а'^, = 0 к виду.

a_jk/u² — (а_кк — а_п)/г — a_kj =0, откуда определяется величина.

М-

В этой формуле знак выбирается так, чтобы получаемое значение /г было наименьшим по модулю.

При практической реализации метода в качестве исключаемого элемента ац преобразуемой матрицы обычно выбирается наибольший по модулю элемент, расположенный ниже главной диагонали.

Программа метода унитарных преобразований для нахождения собственных значений действительных несимметрических матриц, а также многие другие, приведенные выше, были реализованы В. Н. Ветохиным на языке Fortran.