Цель работы. 
Определение параметров обобщенной динамической модели методом статистического оценивания

Оценить параметры динамической модели по входным и выходным данным методом наименьшего квадрата, сравнить оценки параметров модели.

моделирование математический параметрический динамический.

Общие сведения

Модель — условный образ объекта исследования, получаемый для того, чтобы отобразить характеристики объекта, существенные для исследователя. Модели могут быть физическими (например, модель самолета для продувки в аэродинамической трубе) и математическими, которые описывают свойства и явления системы на языке математических выражений. В дальнейшем речь будет идти о математических моделях. По своему виду математические модели могут быть:

• — символьные (в виде математических формул);
• — графические;
• — операционно-описательные (заданные, например, в виде алгоритмов);
• — топологические или иконографические (задаются в виде графа или некоторой схемы).

Моделирование — метод исследования процессов или явлений на их моделях (математических или физических). Иногда под моделированием также подразумевают процесс построения модели.

Математическое моделирование — метод исследования процессов или явлений путем построения их математических моделей и исследования этих моделей с помощью вычислительной техники.

Имитационное моделирование — метод математического моделирования, при котором используют прямую подстановку чисел, имитирующих внешние воздействия (часто случайные), параметры и переменные процессов, в математические модели объектов.

Идентификация модели — определение параметров и структуры математической модели, обеспечивающей наилучшее совпадение выходных координат объекта и модели при одинаковых входных воздействиях. Приведём более простое определение: идентификация — процедура построения модели объекта по результатам измерения и обработки входных и выходных сигналов объекта. Подход к построению модели на основе идентификации называют также экспериментальным подходом, в отличие от аналитического, когда модель выводится на основании основных законов физики, химии, электротехники, материального или энергетического баланса.

«Черный ящик» — система, у которой при неизвестной внутренней организации, структуре и поведении элементов имеется возможность наблюдать реакцию выходных величин на изменение входных воздействий. Если структура объекта известна, то используют термин «серый ящик».

Параметрическая идентификация — определение параметров модели при заданной ее структуре.

Процедурой параметрической идентификации или оценивания параметров является определение значений параметров, характеризующих динамику поведения объекта, с помощью определенных способов обработки экспериментальных данных в предположении, что структура модели исследуемого объекта известна. В качестве параметров модели рассматриваются коэффициенты дифференциальных или разностных уравнений, передаточных функций, частотных характеристик или нелинейных уравнений и т. д. На этапе параметрической идентификации может быть подтверждена или опровергнута предполагаемая структура объекта.

Общие требования к методам идентификации заключаются в том, что определяемые оценки параметров модели должны быть точными и достигаться достаточно быстро. В соответствии с этим, методы оценивания параметров должны быть:

• — формализуемыми в достаточно общем виде;
• — легко реализуемыми и обеспечивающими приемлемую скорость сходимости;
• — обеспечивающими получение оптимальных оценок искомых параметров.

На практике задача оценивания параметров модели объекта решается в условиях действия различных помех. Входной сигнал может быть наблюдаем точно, наблюдаем в смеси с шумом или не наблюдаем, а выходной во всех случаях искажен шумом. Процедуры оценивания в значительной степени зависят от наблюдаемости сигналов и наличия априорной информации о вероятностных характеристиках сигналов.

Математическая модель функциональной связи между входными и выходными переменными задается в виде уравнения регрессии, где — некоторая аналитическая зависимость, в качестве которой наиболее часто применяются степенные полиномы:

Задача идентификации ставится как нахождение таких оценок неизвестных параметров, i = 0,1,…m, при которых заданная уравнением аналитическая зависимость будет наилучшим образом аппроксимировать экспериментальные данные.

В качестве критерия близости используется минимум квадратичной невязки J значений фактических переменных и модельных, рассчитанных по уравнению регрессии.

где — экспериментальное значение выходной переменной, полученное в j-ый момент времени; - модельное (расчётное) значение в тот же момент времени.

Для нахождения коэффициентов регрессии составляют уравнения наличия экстремума по каждому параметру.

i=0,1,…m.

Совокупность соотношений образует систему уравнений относительно оценок m+1 коэффициентов уравнения регрессии, решение которой определяет искомые коэффициенты.