Интегро-дифференциальные уравнения. 
Физические основы математического моделирования

Изложим некоторые свойства интегро-дифференциальных уравнений и приведем примеры их использования при математическом моделировании. В качестве простого примера можно взять задачу о нахождении минимума или максимума функции, определенной интегралом, когда и нижний, и верхний пределы интегрирования, как и сама подынтегральная функция, зависят от некоторого параметра:

Интегро-дифференциальное уравнение возникает при дифференцировании функции 1(a) по параметру, а при нахождении точек ее экстремума:

Соотношение (2) представляет собой интегро-дифференциальное уравнение относительно функции f (x, а).

Одно из простейших интегро-дифференциальных уравнений имеет вид.

в котором k (s) (к (0) = 0) является заданной функцией. Дифференцирование уравнения (3) по параметру t приводит к дифференциальному уравнению второго порядка с зависящим от t коэффициентом:

С другой стороны, интегрирование уравнения (3) по t приводит к интегральному уравнению Вольтерра:

Этот пример показывает, как осуществляется переход от интегро-дифференциального уравнения либо к дифференциальному, либо к интегральному уравнению, что в некоторых случаях может оказаться удобней, чем непосредственный анализ исходного интегро-дифференциального уравнения, теория которых недостаточно разработана математически.

Интегро-дифференциальные уравнения возникают при моделировании самых разнообразных явлений. Например, такое уравнение получается при рассмотрении проблемы флуктуаций яркости звезд. При изучении аэродинамики крыла конечного размаха возникает сингулярное интегро-дифференциальное уравнение.

где определению подлежит /(/), a A (t) и g (t)> заданные функции со свойствами:

При этом ищутся решения со свойствами:

Наиболее знаменитым из всех известных интегро-дифференциальных уравнений является кинетическое уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения классического газа, зависящей от шести переменных — трех координат и трех компонент импульса или (скорости) одноатомной точечной молекулы:

где V_r— и V₀ — дифференциальные векторные операторы.

F — внешняя сила, действующая на молекулу массы /и, a [ —] —.

Ч ^ /ст интеграл столкновений, описывающий вероятности переходов молекулы из одного состояния в другое в результате столкновений с другими молекулами газа. Для интеграла столкновений используются разные модельные представления в зависимости от рассматриваемого характера столкновений молекул между собой.

Первоначально это уравнение было написано на интуитивном уровне без какого-либо динамического обоснования. В дальнейшем уравнение Больцмана явилось предметом самого пристального изучения как с точки зрения его строгого вывода при переходе к сокращенному описанию динамической системы N взаимодействующих частиц, так и с точки зрения выявления его математических свойств. Развито много различных подходов к решению этого уравнения, таких, как методы Гильберта, Чепмена — Энскога, Трэда и т. д.

Математическая сложность уравнения Больцмана определяется интегралом столкновений частиц. Даже в простейшем приближении парных упругих столкновений одноатомных молекул в однородной системе этот интеграл делает уравнение Больцмана нелинейным. Учет тройных столкновений молекул газа и пространственной неоднородности системы еще больше осложняет ситуацию, не говоря уже о рассмотрении неупругих соударений молекул. Несмотря на то что идейная сторона разработанных для уравнения Больцмана методов особых трудностей для понимания не составляет, получающиеся решения и процесс их получения оказываются весьма громоздкими, поэтому все эти вопросы имеют специальный интерес и даже не излагаются в общей литературе по статистической физике.

При рассмотрении процессов в газе, находящемся вблизи состояния равновесия (теплового и механического), когда функцию распределения /(/>, г, /) можно представить в виде.

где /<⁰⁾ — равновесная максвелловская функция распределения, в отсутствие действия внешних сил уравнение Больцмана переходит в линейное интегро-дифференциальное уравнение вида.

где /(/о, ф) — линейный по ф интеграл столкновений.