Уравнения электрического равновесия цепей с многополюсными элементами

Уравнения электрического равновесия линейных цепей, содержащих неавтономные многополюсники, можно формировать с помощью предложенных профессором В. П. Сигорским обобщенных методов узловых напряжений и контурных токов. Познакомимся с основными идеями обобщенного метода узловых напряжений на примере линейной цепи, содержащей один неавтономный трехполюсник. Если считать, что неопределенная матрица проводимостей трехполюсника известна.

а внешние выводы трехполюсника 1,2 и 3 подключены соответственно к узлам k> I и s цепи (рис. 7.10, а)> то при изменении нумерации столбцов и строк матрицы (7.24) в соответствии с нумерацией узлов цепи и выборе в качестве базисного узла для отсчета напряжений внешних выводов трехполюсни;

Рис. 7.10. К обоснованию обобщенного метода узловых напряжений ка базисного узла рассматриваемой цепи напряжения внешних выводов трехиолюсника относительно базисного будут совпадать с узловыми напряжениями соответствующих узлов цепи, а токи внешних выводов трехиолюсника могут быть выражены через узловые напряжения исследуемой цепи:

Токи и напряжения цепи не изменятся, если вместо выводов трехиолюсника к узлам k_f I и s подключить источники токаУьУгиУз:

Преобразованная цепь (рис. 7.10, б) содержит только идеализированные двухполюсные элементы, и для нее можно составить систему узловых уравнений.

где т = q — 1 — число независимых узлов цепи;

— матрица узловых проводимостей цепи;

— матрица-столбец узловых токов цепи (см. рис. 7.10, б).

Выражая токи источников тока J, J2>J$ через узловые напряжения цепи (7.25) и перенося соответствующие члены в левую часть уравнения (7.26), получаем.

).

Как следует из выражения (7.27), система узловых уравнений произвольной линейной цепи, содержащей неавтономный трехполюсник, по форме совпадает с системой узловых уравнений вспомогательной цепи, которая получается из рассматриваемой цепи путем исключения этого трехполюсника. Матрица-столбец узловых токов исходной цепи полностью совпадает с матрицей-столбцом узловых токов вспомогательной цепи, а матрица узловых проводимостей рассматриваемой цепи получается из матрицы узловых проводимостей вспомогательной цепи Y_(/— путем добавления к ее элементам, лежащим на пересечении k-, /- и 5-й строк и k-, /- и 5-го столбцов, соответствующих элементов неопределенной матрицы проводимостей неавтономного трехполюсника.

В общем случае исследуемая цепь может содержать не один, а несколько многоиолюсных элементов с произвольным числом выводов. Формирование уравнений электрического равновесия такой цепи согласно обобщенному методу узловых напряжений производят в следующем порядке:

• 1) выбирают базисный узел и нумеруют независимые узлы цени;
• 2) изменяют нумерацию столбцов и строк неопределенных матриц проводимостей всех многополюсников в соответствии с нумерацией узлов, к которым подключены выводы этих многополюсников;
• 3) из неопределенных матриц проводимостей всех многополюсников вычеркивают строки и столбцы, соответствующие тем выводам многополюсника, которые соединены с базисным узлом (элементы этих столбцов и строк не учитывают при формировании узловых уравнений);
• 4) из исследуемой цепи удаляют все многополюсники; для оставшейся вспомогательной цепи, содержащей только идеализированные двухполюсные элементы, формируют систему узловых уравнений;
• 5) от узловых уравнений вспомогательной цени переходят к узловым уравнениям исходной цепи, для чего последовательно рассматривают все входящие в цепь многополюсники и элементы неопределенных матриц проводимостей многополюсников суммируют с соответствующими элементами матрицы узловых проводимостей вспомогательной цени.

Число независимых уравнений электрического равновесия, формируемых с помощью обобщенного метода узловых напряжений, не зависит от внутренней структуры входящих в цепь многополюсников и определяется только числом независимых узлов внешней по отношению к многополюсникам части цепи.

Отметим, что обобщенный метод узловых напряжений является весьма универсальным и не накладывает никаких ограничений на топологию цепи и число входящих в нее многополюсных элементов.

Пример 7.9. Составим систему узловых уравнений усилительного каскада на полевом транзисторе, принципиальная электрическая схема которого приведена на рис. 7.11, а. Ис;

Рис. 7.11. К примеру 7.9.

пользуем комплексную схему замещения каскада (рис. 7.11, б), где в качестве многополюсника представлена модель полевого транзистора по переменному току в режиме малого сигнала. Изменяя нумерацию столбцов и строк неопределенной матрицы проводимостей полевого транзистора (см. пример 7.1) согласно нумерации узлов рассматриваемой цепи, получаем.

Строка и столбец неопределенной матрицы проводимостей, соответствующие выводу транзистора, соединенному с базисным узлом цепи, могут быть вычеркнуты из матрицы, так как элементы этой строки и этого столбца не учитываются при составлении уравнений электрического равновесия.

Составим систему узловых уравнений вспомогательной цепи, которая получается из исходной цепи (см. рис. 7.11, б) при удалении из нее многополюсного элемента:

Прибавляя к элементам матрицы узловых проводимостей вспомогательной цепи, расположенным па пересечении столбцов 2, 3 и строк 2, 3, соответствующие элементы неопределенной матрицы проводимостей полевого транзистора, находим систему узловых уравнений рассматриваемой цепи:

Пример 7.10. Используя обобщенный метод узловых напряжений, составим систему уравнений электрического равновесия комбинированного усилителя, содержащего полевой и биполярный транзисторы (рис. 7.12, а). Комплексная схема замещения усилителя в диапазоне низких частот приведена на рис. 7.12, б.

Рис. 7.12. К примеру 7.10.

Неопределенная матрица проводимостей полевого транзистора VT_A была найдена в примере 7.1.

Для получения неопределенной матрицы проводимостей биполярного транзистора VT_R воспользуемся неопределенной матрицей сопротивлений этого транзистора (см. пример 7.2) и формулами перехода (7.23):

где &_т= (R_K + Rr,)Rj + (R_K — R,")Rc,. Составляя систему узловых уравнений вспомогательной цепи

и суммируя элементы неопределенных матриц проводимостей транзисторов с соответствующими элементами матриц узловых проводимостей этой цепи, получаем окончательно.

Обобщенный метод контурных токов имеет несколько меньшую универсальность, чем обобщенный метод узловых напряжений, и может применяться только при анализе цепей, схема замещения которых является планарной. Формирование уравнений электрического равновесия произвольной линейной цепи, содержащей один или несколько неавтономных многополюсников, в соответствии с обобщенным методом контурных токов выполняется в такой последовательности:

• 1) нумеруют все контуры, образуемые внутренними ячейками цепи, направление обхода этих контуров выбирают одинаковым — по часовой стрелке;
• 2) изменяют нумерацию столбцов и строк неопределенных матриц сопротивлений многополюсников в соответствии с нумерацией соответствующих контуров цепи; если одна из сторон многополюсника оказывается не связанной ни с одной из внутренних ячеек цепи, то соответствующим строке и столбцу присваивают номер 0, элементы этих строк и столбцов не учитывают при составлении уравнений электрического равновесия цени;
• 3) из рассматриваемой цепи удаляют все многополюсные элементы, а точки присоединения полюсов каждого из них к остальной части цепи соединяют между собой, образуя один узел: очевидно, что число контуров полученной таким образом вспомогательной цепи равно числу контуров исходной цепи;
• 4) используя метод контурных токов, формируют систему уравнений электрического равновесия вспомогательной цени, состоящей только из идеализированных двухполюсных элементов;
• 5) от контурных уравнений вспомогательной цепи переходят к контурным уравнениям исследуемой цепи, для чего элементы неопределенных матриц сопротивлений многополюсников суммируют с соответствующими элементами матрицы контурных сопротивлений вспомогательной цепи.

Пример 7.11. Используя обобщенный метод контурных токов, составим систему уравнений электрического равновесия усилительного каскада (см. рис. 7.11, а), комплексная схема замещения которого приведена на рис. 7.13.

Рис. 7.13. К примеру 7.11.

Для формирования системы контурных уравнений необходимо определить матрицу Z-парамстров полевого транзистора. Воспользуемся для этой цели неопределенной матрицей проводимостей полевого транзистора (см. пример 7.1) и формулами перехода (7.22):

где

Нумерация сторон многополюсника, а следовательно, и нумерация строк и столбцов неопределенной матрицы сопротивлений произведена в соответствии с рис. 7.5 и 7.9. Выберем нумерацию контуров рассматриваемой цепи, как указано на рис. 7.13, и соответственно изменим нумерацию строк и столбцов неопределенной матрицы сопротивлений полевого транзистора:

Удалим из исследуемой цепи многополюсный элемент, точки присоединения его выводов соединим между собой и составим систему контурных уравнений для полученной таким образом вспомогательной цепи.

Прибавляя элементы неопределенной матрицы сопротивлений нолевого транзистора, расположенные на пересечении строк 2,3 со столбцами 2,3, к соответствующим элементам матрицы контурных сопротивлений вспомогательной цепи, получаем систему контурных уравнений исследуемой цепи: