Временные характеристики линейных цепей

Единичные функции и их свойства. Важное место в теории линейных цепей занимает исследование реакции этих цепей на идеализированные внешние воздействия, описываемые так называемыми единичными функциями.

Единичной ступенчатой функцией (функцией Хевисайда) называется функция.

График функции 1(7 — (₀) имеет вид ступеньки или скачка, высота которого равна единице (рис. 6.16, а). Скачок такого типа будем называть единичным. При t₀ = Q для единичной ступенчатой функции используют обозначение 1(0 (рис. 6.16, б).

В связи с тем, что произведение любой ограниченной функции времени f (t) па 1 (t — t₀) равно нулю при t < t₀ и равно /(0 при t > t₀:

функцию Хевисайда l (f — t₀) удобно использовать для аналитического представления различных внешних воздейст;

Рис. 6.16. К определению единичной ступенчатой функции вий на цепь, значение которых равно нулю до коммутации и скачкообразно изменяется в момент коммутации.

При подключении цепи к источнику постоянного тока или напряжения внешнее воздействие на цепь.

где to — момент коммутации.

Внешнее воздействие такого вида называется неединичным скачком. Используя функцию Хевисайда, выражение (6.95) можно представить в виде.

Если при t = ?о в цепь включается источник гармонического тока или напряжения.

то внешнее воздействие на цепь можно представить в виде.

Если внешнее воздействие на цепь в момент времени t = t§ скачкообразно изменяется от одного фиксированного значения Х_{ до другого Х₂, то.

Внешнее воздействие на цепь, имеющее форму прямоугольного импульса высотой X и длительностью t_u (рис. 6.17, а), можно представить в виде разности двух одинаковых скачков.

сдвинутых во времени на ?_и (рис. 6.17, б, в):

Рис. 6.17. Представление прямоугольного импульса в виде разности двух неединичных скачков.

Рис. 6.18. К определению 6-функции.

Рассмотрим прямоугольный импульс длительностью At и высотой Х/At (рис. 6.18, а). Очевидно, что площадь этого импульса равна единице и не зависит от At. При уменьшении длительности импульса его высота возрастает, причем при At —*? 0 она стремится к бесконечности, но площадь импульса остается равной единице. Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна единице, будем называть единичным импульсом.

Функция, определяющая единичный импульс, обозначается 5(t — to) и называется 5-функцией или функцией Дирака'. Таким образом,.

причем.

При ?₀⁼ 0 для 5-функции используется обозначение 5(t). При построении временны х диаграмм функции б(t — to) и 8(t) будем изображать в виде вертикальной стрелки со значком ⁰⁰ около острия (рис. 6.18, б, в).

Для установления связи между 5-функцией и единичной ступенчатой функцией воспользуемся выражением (6.96). Полагая X = 1 /At и устремляя At к нулю, получаем.

откуда ^[1]

Таким образом, 8-функция представляет собой производную от единичной ступенчатой функции, а единичная ступенчатая функция — интеграл от 8-функции.

Строгое обоснование операций над единичными функциями, в том числе операции дифференцирования единичной ступенчатой функции, дано в теории обобщенных функций. Для качественного обоснования таких операций функции 1(7: — /₀) и 6(7 — t₀) удобно представить в качестве предельных значений некоторых более простых функций, для которых соответствующие операции являются определенными. Рассмотрим, например, функцию .гДГ) (рис. 6.19, а), удовлетворяющую условиям.

Производная функции X (t) по времени (рис. 6.19, б) имеет вид прямоугольного импульса длительностью At и высотой 1 /Дt:

При At —*? 0 функция X (t) вырождается в единичную ступенчатую функцию, а функция dx_{(t)/dt — в б-функцию:

откуда следует, что

Рис. 6.19. К установлению связи между единичными функциями.

При выполнении различных операций над единичными функциями момент коммутации t_Q удобно расчленять на три различных момента: ?₀_ —момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, ?₀ — собственно момент коммутации и ?₍₎₊ — момент времени, следующий непосредственно после коммутации. С учетом этого из условия (6.98) можно получить.

В общем случае.

Произведение произвольной ограниченной функции времени /(?) на 8(? — ?₀).

Условиям (6.103) удовлетворяет также произведение f (t₀)6(t — ?о)> следовательно,.

Из выражений (6.102) и (6.104) следует, что интеграл от произведения произвольной ограниченной функции /(?) на 6(1: — tg) равен либо значению этой функции при t = to (если точка to принадлежит интервалу интегрирования), либо нулю (если точка ?₀ не принадлежит интервалу интегрирования):

Таким образом, с помощью 5-функции можно выделять значения функции/(?) в произвольные моменты времени ?₀— Эту особенность 8-функции обычно называют фильтрующим свойством.

Для определения реакции линейных электрических цепей на внешнее воздействие в виде единичного скачка или единичного импульса необходимо найти изображения единичных функций, но Лапласу. Используя рассмотренные свойства единичных функций, получаем.

При t₀ = 0 операторные изображения единичных функций имеют особенно простой вид:

• [1] Более строгое определение 5-функции см., например, в работе [12].