Преобразование информации. 
Методика преподавания начального курса математики

Вопросы для обсуждения.

• 1. В чем суть преобразования информации?
• 2. Что такое алгоритм?
• 3. Что такое логическая структура высказывания?
• 4. Почему необходимо формировать у младших школьников умения выявлять

истинностное значение высказывания на основе анализа его логической структуры?

Одним из основных понятий логики, математики и информатики является понятие алгоритма. В общем случае к алгоритму сводятся любые процессы преобразования информации.

Под алгоритмом понимается конечный набор правил или команд (указаний), позволяющий исполнителю решать любую задачу из некоторого класса однотипных задач.

Исполнителем может быть человек, группа людей, станок, компьютер и др. В зависимости от исполнителя команды алгоритма составляются разными способами^[1][2].

Например, одним из первых вычислительных приемов, которым овладевают первоклассники, является прием прибавления числа 2. Список однотипных задач, решаемых данным приемом, таков:

1 +2,24−2,3 + 2,4 + 2,5 + 2,6 + 2,7 + 2,8 + 2.

Набор правил для исполнителя — первоклассника.

• 1. К данному числу прибавь 1, переходи к указанию 2.
• 2. Запомни результат, переходи к указанию 3.
• 3. К числу, которое запомнил, прибавь 1. Вычисления закончи.

Набор команд (правил) должен быть таков, что исполнитель способен выполнить каждую из них. В данном случае предполагается, что первоклассник умеет прибавлять 1 к любому числу, не превышающему 9. Это пример словесного описания алгоритма. Этот же алгоритм может быть представлен схемой

Говоря об умении ребенка прибавлять 2, имеют в виду не то, что он так или иначе сумеет найти требуемое число, а то, что он владеет общим приемом, применяемым к любой конкретной записи числа. Уже на этом простейшем примере можно видеть отличие программы от процесса вычисления, который будет различным для разных исходных данных. Так, процесс вычисления для исходного числа 3 следующий: 3 + 1=4, 4 + 1=5, а для исходного числа 8 этот процесс таков: 8 + 1=9, 9 + 1 = 10.

Умение решать задачу «в общем виде» всегда означает владение некоторым алгоритмом. Понятие задачи «в общем виде» уточняется при помощи понятия массовой проблемы. Под проблемой можно понимать задачу нахождения объекта, обладающего теми или иными свойствами. Ролью массовых проблем и определяется значение алгоритмов.

В курсе математики начальной школы алгоритмы могут задаваться блоксхемой. Одной из особенностей блок-схемной алгоритмизации является неизменность допустимых средств, используемых для записи алгоритма. Каждому типу действий (вводу исходных данных, вычислению значений выражений, проверке условий и т.и.) в блок-схеме соответствует геометрическая фигура. Блок-схемный метод алгоритмизации наглядно представляет логику решения задачи. На рис. 5.4 приведен пример из учебника Т. Е. Демидовой с соавторами «Математика. 3 класс» (2009. Ч. 2. С. 91).

Рис. 5.4. Блок-схема вычисления значения арифметического выражения Вычислительный процесс, определяемый этой блок-схемой для исходного данного 40, таков: 40 + 200 = 240; 240/2 = 120; спрашиваю «120 < 100?» Получаю ответ «Нет»; 120/2 = 60; спрашиваю «60 < 100?» Получаю ответ «Да». Записываю результат 60. Для числа 35 алгоритм не содержит указаний, как поступить с числом, полученным после прибавления 200 к 35 (делением рациональных чисел дети пока не владеют). В этом случае алгоритм дает безрезультатную остановку.

Как входная информация, которую преобразует алгоритм, так и выходная представляется в виде слов некоторого языка, а преобразование информации, осуществляемое алгоритмом, сводится к установлению соответствия между словами. Язык в широком смысле — это система знаков любой физической природы вместе с правилами оперирования знаками этой системы, выполняющей познавательную и коммуникативную функции в процессе человеческой деятельности. Язык может быть естественным и искусственным. Естественный язык — это форма выражения мыслей и средство общения между людьми. Искусственный язык — вспомогательный, созданный людьми на базе естественного для определенных частных целей. Математический язык, языки программирования, языки знаков индексов — примеры искусственных языков. При переводе текстов с одного языка на другой словами можно считать предложения, рисунки, схемы и т. п., а задача перевода сводится к задаче установления соответствия между такими обобщенными словами. Так, результат перевода сообщения о количественных характеристиках ситуации «В пенале 2 цветных карандаша, их в три раза меньше, чем простых» на язык знаков-индексов показан на рис. 5.5.

Рис. 5.5. Перевод количественных характеристик предметной ситуации и отношений между ними на язык знаков-индексов Здесь перевод на язык знаков-индексов устанавливает соответствие между обобщенными «словами»:

• 1) количество цветных карандашей — множество численности 2;
• 2) отношение количества простых карандашей к количеству цветных — «больше в три раза» — множество численности 3;
• 3) количество простых карандашей — множество численности 2 • 3.

В случае перевода алгоритм не предъявляется в готовом виде, его следует построить.

Работа с информацией приводит еще к одной учебной задаче курса математики начальной школы: задаче формирования умений выявлять истинностное значение высказывания на основе анализа его логической структуры.

Нод высказыванием понимается предложение, о котором можно, хотя бы в принципе, утверждать, истинно оно или ложно. Например, следующие предложения являются высказываниями.

• • Земля — планета Солнечной системы.
• • На Северном полюсе живут пингвины.
• • Все числа не превышают 10.
• • Некоторые дети хорошо рисуют.

Можно заметить, что предложения 1 и 2 — это утверждения о конкретных объектах: о Земле, пингвинах. В то же время другие два являются утверждениями о некотором множестве объектов. Если отбросить в этих высказываниях слова «все», «некоторые», то получим предложения со свободными местами: «…числа меньше 10», «…дети хорошо рисуют». Свободные места в полученных предложениях можно заменять различными объектами из конкретных множеств. Легко видеть, что предложения «числа меньше 10», «дети хорошо рисуют» являются свойствами элементов множеств чисел или детей.

Объекты, которые могут принимать разные значения, в математике называются переменными и обозначаются буквой. Если переменные в рассматриваемых предложениях обозначить буквой х, то получим предложения: «х не превышает 10»; «х хорошо рисует». Очевидно, что в первом из них переменная х принимает числовые значения (числа — область значений переменной х), а во втором — имена конкретных детей (область значений переменной х — множество имен детей). Положив х = б, получим высказывание «6 не превышает 10». Заменив х именем «Петя Иванов», получим высказывание «Петя Иванов хорошо рисует». Каждое из этих предложений — высказывание.

Предложения с переменной, которые превращаются в высказывания при замене переменной объектом из допустимого множества ее значений, называются высказывательными формами. Получить высказывание из высказывательной формы можно в форме утверждения обо всех, или о некоторых элементах из допустимого множества значений переменной. Тогда из высказывагельной формы «х не превышают 10» получаем высказывания: «Все (любые, какие бы ни взять) числа не превышают 10», или «Есть (существуют, найдутся, некоторые) числа, не превышающие 10». Первое из них ложное, так как легко указать число, которое больше 10, а второе истинное, так как, например, 5 не превышает 10.

Из высказывательной формы «х хорошо рисует» можно получить высказывания: «Все дети хорошо рисуют», или «Некоторые дети хорошо рисуют».

Слова «все», «любой», «каждый», «какой угодно», «некоторый», «существует», «найдется» определяют логическую операцию, в результате применения которой высказывательная форма превращается в высказывание, истинностное значение которого не зависит от х. Говорят, что переменная х связана квантором всеобщности или существования. Если высказывательную форму обозначить А (х), то связывание переменной квантором всеобщности обозначается V хА (х), связывание квантором существования — ЗхА (х).

Логические операции над высказываниями, конъюнкция, дизъюнкция, отрицание (инверсия), импликация — производят новое высказывание, логическая структура которого определена этими операциями. Из высказывания А можно образовать его отрицаниел4, из двух высказываний А и В — конъюнкцию А д В, дизъюнкцию A v В, импликацию А => В.

Отрицание высказывания меняет его истинностное значение на противоположное. Конъюнкция соответствует союзу «и», она истинна тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания А и В. Дизъюнкция соответствует союзу «или» и является истинной тогда и только тогда, когда истинно, хотя бы одно из высказываний А и В. Импликация соответствует союзу «если …, то», она ложна тогда и только, когда А истинно, а В ложно.

Например, если А — «2 простое число», то -•Л — «неверно, что 2 простое число». Высказывание -'А ложное, потому что А — истинное. Если В «2 четное число», то А д В — «2 простое и четное число». Высказывание, А а В истинное, так как истинны оба высказывания А и В. Высказывание ~^(А v В) — «неверно, что 2 простое или четное число» ложно, так как истинным является высказывание «2 простое или четное число». Высказывание А => -'В — «если 2 простое число, то 2 нечетное» ложное, так как «2 простое число» истинное высказывание, а «2 нечетное число» ложное. Из истины не может следовать ложь, во всех остальных случаях импликация истинна.

С целью формирования у младших школьников умений определять истинность того или иного высказывания могут быть предложены, например, такие задания.

1. Известно, что у Кати на парте тетрадь по математике, а у Вани тетрадь по русскому языку. Ответьте на вопросы: а) верно ли, что Катя и Ваня готовы к уроку математики; б) верно ли, что Катя или Ваня готовы к уроку математики?

Ответы на вопросы: а) неверно, так как Катя готова к уроку математики, а Ваня не готов (конъюнкция истинна только тогда, когда истинны оба высказывания); 6) верно, так как Катя готова к уроку математики (дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний).

2. Ваня решил, что если в воскресенье не будет снегопада, то он пойдет на лыжную прогулку в парк. В воскресенье случился снегопад, но Ваня пошел на лыжную прогулку. Выполнил ли Ваня свое намерение?

Ответ: да, выполнил, он пошел в парк (если посылка импликации ложная, то импликация истинна).

3. Ваня говорит, что все птицы летают, а Катя с этим не согласна. Кто прав, Катя или Ваня?

Ответ: права Катя, так как есть птицы, которые не летают, например страусы (Ванино высказывание «Все птицы летают» неверно, так как есть опровергающий пример).

4. Катя утверждает, что есть двузначное число, большее 27 и меньшее 30, которое делится на 3 без остатка, а Ваня с ней не согласен. Кто прав Катя или Ваня?

Ответ: прав Ваня, потому что оба числа 28 и 29 не делятся на 3 без остатка (утверждение Кати о существовании числа с указанными свойствами неверно, потому что никакое число данного множества не обладает этим свойством).

Истинностное значение отрицания высказывания, составленного из высказываний при помощи логических операций, определяется рядом логических законов.

1. Отрицание конъюнкции равносильно дизъюнкции отрицаний:

Например, высказывание «Неверно, что в Арктике живут белые медведи и пингвины» равносильно высказыванию «В Арктике не живут белые медведи или не живут пингвины».

2. Отрицание дизъюнкции равносильно конъюнкции отрицаний:

Например, высказывание «Неверно, что 2 больше 2 или 2 равно 2» равносильно высказыванию «2 не больше 2 и 2 не равно 2», которое ложно.

3. Отрицание импликации равносильно конъюнкции посылки и отрицания заключения:

Например, высказывание «Неверно, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны» равносильно высказыванию «Треугольник равнобедренный, а углы при его основании не равны».

Отрицание всеобщего высказывания равносильно высказыванию, утверждающему существование такого а_у принадлежащего области значений переменной х_у для которого А (а) неверно, т. е.

Например, высказывание «Неверно, что все школьники любят математику» равносильно высказыванию «Есть такой школьник, который не любит математику».

Отрицание высказывания, утверждающего существование такого значения переменной х, для которого А{а) верно равносильно высказыванию, что А (а) неверно для всех значений переменной х, т. е.

Например, отрицание высказывания «Неверно, что существует равнобедренный и прямоугольный треугольник» равносильно высказыванию «Все треугольники не равнобедренные или не прямоугольные».

С целью формирования у младших школьников умений формулировать отрицание высказываний и находить его истинностное значение могут быть предложены следующие задания.

1. Вайя сказал: «Неверно, что Петя в соревнованиях по бегу занял первое место, а Костя — второе». Ошибся ли Ваня, если известно, что Петя не занял первое место?

Ответ: Вайя не ошибся. Отрицание высказывания «Петя занял первое место, а Костя — второе» есть дизъюнкция «Петя не занял первое место или Костя не занял — второе». Это истинное высказывание, гак как дизъюнкция истинна, если истинно хотя бы одно из высказываний.

2. Таня сказала, что все мальчики в третьем классе любят математику. Права ли Таня, если третьеклассник Дима не любит математику?

Ответ: Таня не права, потому что если хотя бы один Дима не любит математику, то не все мальчики любят математику.

j у j

3. Ваня и Степа играли в такую игру: кто назовет все двузначные числа, которые не больше 23 и не меньше 18. Ваня назвал: 18, 19, 20, 21, 22, 23. Стена назвал: 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23. Судья Таня присудила победу Ване. Права ли Таня?

Ответ: Таня права, так как все числа, названные Ваней, удовлетворяют условию, а Стена назвал число 17, которое меньше 18.

4. Все третьеклассники, кроме Вани, за контрольную работу по математике получили «отлично». Прав ли Ваня, когда говорит, что в нашем классе все знают математику на «отлично».

Ответ: Ваня не прав.

• 5. Чтобы получить положительную оценку за диктант, надо допустить не более 5 ошибок. Степа сделал 7 ошибок, а Таня — 5. Кто получил за диктант оценку 2?
• 6. Витя помнил одно правило грамматики и сумел его применить. Права ли Люся, которая утверждает, что Витя совсем безграмотный?

Выдающийся немецкий логик и математик Г. Фреге (1848—1925) каждому высказыванию приписывал смысл и значение. Смысл — это мысль, выражаемая данным предложением, а значение высказывания — истина либо ложь. Мысль субъективна и существует только как образ сознания. Истинностное значение высказывания как выражение знания о конкретном предмете, явлении или процессе логикой не определяется. Логика позволяет установить истину того или иного высказывания в предположении, что истинность его структурных составляющих известна из какихлибо других, вызывающих доверие источников. Мысль, репрезентируемая знаком, включает в себя объективированные знания, активно используемые и распространяемые в социальной среде.

Можно сказать, что часто дети научаются понимать, т. е. выявлять смыслы, подражая взрослым. Что касается математики, то возможности ее познания вне специального обучения, по-видимому, доступны только особо одаренным личностям. Дело в том, что объем любого математического понятия не содержит материальных предметов, например, нельзя указать объект, которому присваивается имя «квадрат». Такой объект, т. е. его смысл, может быть «построен» как понятийный образ, который обозначается данным символом. Проблему выявления смысла математических объектов рассматривал американский математик Л. Черч, основываясь на достижениях Фреге. Смысл предложения А. Черч описывает как-то, что бывает усвоено, когда понято предложение, или как-то, что имеют общего два предложения в различных языках, если они правильно переводят друг друга. Чтобы смысл математического объекта был понят учеником, необходимо его описание не менее чем на двух различных языках. Например, предложение 2 + 3 = 5 может быть переведено на язык знаков-икон, представляющих данную информацию в соответствии с теорией натурального числа как мощности конечного множества, или в вербально-речевой форме рассказа о ситуации, имеющей соответствующие количественные характеристики.

Задания для самостоятельной работы

• 1. На основе анализа учебников математики образовательной системы «Школа 2100» подготовьте сообщение на тему «Каким условиям должны удовлетворять команды алгоритма для младших школьников».
• 2. Опишите понятия «массовая проблема» и «общее решение задачи». Приведите примеры из курса математики начальной школы, поясняющие данные понятия.
• 3. Опишите алгоритм сложения однозначных чисел с переходом через разряд:
  • а) в словесной форме; б) в виде схемы.
• 4. Опишите алгоритм перевода предложения «У Даши три тетради, а у Кати на две больше» на язык знаков-индексов, отражающих только количественную информацию о данной ситуации.
• 5. Укажите исходные данные для алгоритма, реализующего прием вычисления сумм вида 25 + 7.
• 6. Постройте блок-схему алгоритма для вычисления значения выражения

• 7. На основе анализа логической структуры высказывания подготовьте сообщение о правилах построения отрицания высказываний.
• 8. На основе анализа заданий из учебника «Математика» для 3-го класса авторов Т. Е. Демидовой, С. А. Козловой, А. И. Тонких покажите, что умения выявлять истинностное значение высказываний способствует формированию приемов логического мышления.

• [1] Математика. 3 класс. Ч. 2 / Т. Е. Демидова [и др.]. М.: Баласс, 2009.
• [2] Акулов О. А., Медведев II. В. Информатика. Базовый курс: учебник. М.: Омега-Л, 2009.С. 182.