Метод конечных элементов

Рассмотрим этот метод также на примере первой краевой задачи для уравнения Лапласа.

Переход к вариационной задаче требует определения решения из условия минимума функционала.

где w функция из числа допустимых.

Разобьем область треугольными элементами, выделим один из них и обозначим его е*. Площадь этого треугольника легко определяется как.

где индексами обозначены вершины этого элемента.

В силу аддитивности интеграла рассматриваемый вариационный функционал представится как сумма элементарных функционалов по конечным элементам расчетной области:

Вариационный функционал, записанный для отдельного конечного элемента, имеет вид.

Будем считать, что функция м^е*(, т, у) является линейной функцией на конечном элементе е*:

Входящие в это выражение постоянные будут различны для различных элементов. Их значения можно выразить через узловые значения функции и на элементе е*. Для этого применим введенное линейное представление для узловых точек треугольного конечного элемента:

Рассматривая соотношения (10.14) как систему линейных уравнений относительно коэффициентов, <*з‘, разрешим ее и получим представления коэффициентов через узловых значения функции:

Входящие в эти соотношения коэффициенты будут зависеть лишь от координат узловых точек конечного элемента. Подставив теперь полученные выражения (10.15) для коэффициентов, а в линейное представление функции на элементе (10.13), получим для и^е' несколько громоздкое по форме выражение, имеющее, однако, весьма простую структуру. Это выражение будет представлять линейную функцию координат, а ее коэффициентами будут также линейные зависимости от узловых значений сеточной функции.

Проведя группировку членов, можно привести это представление К ВИД}'.

а входящие в это выражение функции являются линейными функциями координат с коэффициентами, зависящими от координат узлов базисного элемента:

Из (10.16) и (10.17) следует, что интеграл от базисной функции на выбранном конечном элементе будут иметь простую структуру:

Подставив вычисленные производные (10.18) в выражение для функционала на конечном элементе (10.12), получим для элемента треугольной формы.

Стоящее в квадратных скобках под знаком интеграла выражение уже не зависит от координат х и у и может быть вынесено из-под знака интеграла, а интегрирование по конечному элементу сведется к вычислению его площади.

Проводя суммирование по всем конечным элементам области, получим представление функционала через узловые значения искомой функции: I = YsiLi^Iei = /(«i, '"2, • •. , u_N).

Этот функционал представляет собой квадратичную функцию от узловых значений решения щ. Условие минимума функционала будет иметь вид условия его стационарности от его аргументов.

", 01 _ ог> ‘ .

узловых значении сеточной функции: —— = > •_, —— = (). г =.

дщ ^J дщ

= 1,2, …, 7V.

Отметим два весьма важных обстоятельства. Во-первых, в силу квадратичности функций, определяющих функционал на конечном элементе, частные производные по узловым значениям функции будут линейными от искомых сеточных значений и условия минимума функционала будут представлять систему линейных уравнений относительно искомых узловых значений. Во-вторых, эта система будет иметь большое количество нулевых элементов вследствие конечности носителя. Матрицы систем такого типа называют ра.зреженнылш или неплотнылш. Существуют хорошо разработанные алгоритмы хранения элементов разреженной матрицы, экономящие ресурсы памяти, а также алгоритмы решения систем, учитывающие разреженность и сокращающие объем вычислений за счет исключения операций с нулевыми элементами.