Введение в теорию некорректных задач

Понятие некорректной задачи

Подавляющее большинство задач из области прикладной математики состоит в определении неизвестной величины z по имеющимся исходным данным и в виде зависимости.

при этом обычно предполагается, что z е Z, и е U, где Z и U — некоторые метрические пространства и, соответственно, оператор R действует из U в Z, что для краткости записывается следующим образом: R: U —> Z. Задача (3.1) называется корректно поставленной по Адамару, если выполняются следующие условия^[1]:

• 1) для любого и е U решение задачи существует;
• 2) для любого и е U решение задачи единственно;
• 3) решение задачи 2 непрерывным образом зависит от исходных данных и. Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному из этих условий, называются некорректно поставленными. В качестве примера корректно поставленной рассмотрим задачу вычисления значений интегрального оператора

где ядро г, s) и его частные производные К'_х(х, s) и K'_s(x, s) предполагаются непрерывными в квадрате [0; 1] х [0; 1], при этом функции и и z принадлежат С[0; 1], т. е. пространству непрерывных функций, оснащенных нормой ||z || = max |z (x)| и, соответственно, |Ы| = max | w (s) |. Выиолне;

0<5<1.

ние пп. 1) и 2) следует непосредственно из постановки самой задачи. Проверка п. 3) вытекает из справедливости оценки ||2_t-г₂^Кщи₂, где К = max | К (х, s) |. В свою очередь убедимся, что обратная задача.

0<�г<1.

0<5¹

является некорректно поставленной, по крайней мере в п. 3) исходного определения. Действительно, предположим, что функции и₀ и 2₀ из пространства С[0; 1] удовлетворяют данному уравнению. Образуем последовательность z_n(s) = z₀(s) + nsin (n^[2]s)> п — 0, 1, 2, …. Эти функции являют;

ся решениями уравнения (3.2) с правыми частями и_п(х) = j K (x, s) z_n(s)ds.

о Имеют место оценки.

где постоянная k_x не зависит от п. Таким образом, и_п —и₀—> 0, в то время, как || z_n -z₀1 —> (c)о при п—> (c)о, что противоречит условию непрерывной зависимости решения от правой части уравнения (3.2). Одновременно вопрос о существовании и единственности зависимости (3.1) для уравнения (3.2) также является неоднозначным. Так, если и (х) является не дифференцируемой на всем отрезке [0; 11 функцией, то уравнение (3.2) не имеет решения, поскольку его левая часть для непрерывной функции 2(5) является дифференцируемой по хна всем отрезке [0; 1]. Что касается вопроса о единственности решения, то он сводится к выяснению существования нетривиальных решений уравнения.

Так, если K (x, s) = e^x~^s, то уравнение (3.3) сводится к рассмотрению зависимости.

Понятно, что в этом случае можно подобрать ненулевую функцию z (s) из С[0; 1], которая обращает формулу (3.4) в тождество. В этом случае уравнение (3.2) имеет не единственное решение. В ситуации, когда К (х, s) = е*⁵,

уравнение (3.3) сводится к рассмотрению уравнения fe^xsz (s)ds = 0. Диф;

о.

ференцируя последнее соотношение по х п раз, получим Je^xssⁿz (s)ds = 0.

о Зафиксируем х = х₀ е [0; 1] и обозначим ^ (s) = e*o^s2(s). Таким образом,.

имеет место соотношение J* sⁿz_{(s)ds = 0 для любого п = 0,1,… Но поскольку о.

набор функций sⁿ_y п = 0, 1,…, образует полную систему функций на отрезке |0; I]^[3], то из последнего равенства вытекает, что z^s) = 0 в С[0; 1|, а следовательно, z (s) = 0 в том же пространстве. Таким образом, в указанном случае уравнение (3.2) может иметь только единственное решение. Рассмотрим операторное уравнение.

где A: Z —> U. Заметим, что в частном случае, когда Ап х п представляет собой квадратную матрицу размерности п х п, Z — U — Е^п, где Е^п является евклидовым пространством размерности п, и при этом det4 = 0, то задача (3.5) является некорректной, поскольку условие ее разрешимости записывается в виде равенства нулю скалярного произведения (и, z*) — О для любого z* е Z*, где Z* является подпространством решений уравнения A*z — 0 с сопряженной к А матрицей Л*^[4].

Длительное время считалось, что некорректные задачи не отвечают реалиям окружающего нас мира и поэтому не заслуживают детального анализа. Однако время показало поспешность подобного рода заявлений. Дело в том, что многие некорректные задачи генерируются определенным классом корректных задач. Так, например, решение z (t, х) некорректной задачи.

для параболического уравнения.

рассматриваемого на промежутке t е [0; 7], можно интерпретировать как решение уже корректной задачи^[5]

для того же самого уравнения, но с неизвестной функцией ф₀(х). Если предположить, что q (t, х) и ф₀(х) таковы, что корректная задача имеет единственное решение в определенном классе функций, то проблема заключается только в построении решения некорректной задачи, непрерывного по отношению к зависимостям ф, (д) и q (t, х) в определенным способом выбранной метрике.

Таким образом, при рассмотрении некорректных задач, как правило, необходимо принимать во внимание априорную информацию относительно их возможных решений. Подобного рода соображения приводят к сужению области допустимых решений некорректной задачи на множество М € Z. В этом случае мы приходим к естественному определению условно-корректной задачи, или задачи, корректно поставленной по Тихонову^[6]. Будем говорить, что задача решения операторного уравнения (3.5) является условно-корректной, если выполнены следующие условия:

• 1) априори известно, что решение уравнения существует и принадлежит некоторому заданному множеству М пространства Z;
• 2) решение уравнения единственно на множестве М;
• 3) существует непрерывная зависимость решения уравнения от правой части и, когда вариации и не выводят решение за пределы множества М.

Соответствующее множество М называется множеством корректности. Имеет место следующее утверждение^[7].

Теорема 3.1. Пусть множество М метрического пространства Z взаимно однозначно отображается оператором, А на множество N метрического пространства U. Тогда если оператор, А непрерывен на М и М — компакт., то обратный оператор А~^х непрерывен на N.

Таким образом, если множество М является компактом, то определение условной корректности в части п. 3) выполняется автоматически. Например, если оператор A: L₂10; 11 —> L₂; 11, где L₂ — пространство суммируемых с квадратом функций, то множество функций ограниченной вариации с одной и той же постоянной С, ограничивающей сами функции (|z (x)| < С)

и их полные вариации (V (z)) в силу теоремы Хелли о выборе образуют компактное множество^[8]. Соответственно, компактное множество образует монотонные на отрезке [0; 1] функции, ограниченные сверху и снизу одними и теми же постоянными. Выпуклые функции, ограниченные сверху и снизу для всех функций одинаковыми постоянными, также образуют компактное множество, поскольку для них имеет место оценка^[9] 1.

VXz) = z (0) + z (l)-2inf{z (s):se[0;l]}. В качестве примера выполнения и. 2).

в определении условно-корректной задачи рассмотрим уравнение (3.5) на определенном выше компактном множестве функций ограниченной вариации в случае, когда оператор А определяется следующим образом:

при этом A: L₂[0; 1] —" Ь₂[0; 1], а функция x (t) недифференцируема почти всюду на отрезке [0; 1]. Указанная ситуация может возникнуть, например, в случае, когда функция %(t) определена на траекториях винеровского процесса, которые, как известно^[10], недифференцируемы почти всюду. При этом неограниченность обратного оператора Л^-1 в данном случае обусловлена тем, что значения коэффициента %(?) не отделены от нуля на промежутке [0; 1]. Доказательство единственности решения уравнения (3.5) в данном случае эквивалентно доказательству существования только тривиального решения для уравнения.

в случае, когда множество М представляет собой определенный выше компакт, состоящий из функций ограниченной вариации. Выполнение равенства (3.7) в пространстве L₂[0; 1] означает, что оно имеет место для почти.

(.

всех 1:е [0; 1] и, соответственно, имеет место зависимость х (() = Jz (x)dx / z (t).

о почти всюду на отрезке [0; 1]. Однако функции ограниченной вариации дифференцируемы почти всюду^[11], что противоречит последнему равенству. Отметим, что уравнение (3.5) с оператором (3.6) будет подробным образом рассмотрено в гл. 8 настоящего учебника.

Перейдем теперь непосредственно к вопросу о конструктивных методах построения решений некорректных задач.

• [1] Тихонов Л. II. у Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач: учеб, пособиедля вузов. 3-е изд. М.: Наука, 1986.
• [2] учебник для вузов. 6-е изд. М.: Наука, 1989.
• [3] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа:
• [4] Треногий В. А. Функциональный анализ. М.: Паука, 1980.
• [5] Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решениянекорректных задач. М.: Наука, 1990.
• [6] Денисов А. М.

  Введение

  в теорию обратных задач: учеб, пособие. М.: Изд-во МГУ, 1994.

• [7] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Указ. соч.
• [8] Колмогоров А. //., Фомин С. В. Указ. соч.
• [9] Леонов А. С. Решение некорректно поставленных задач: очерк теории, практическиеалгоритмы и демонстрации в МАТЛАБ. 2-е изд. М.: Либроком, 2013.
• [10] Вептцель А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975.
• [11] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Указ. соч.