Ускорение точки и виды движения точки в зависимости от ускорения

Ускорение есть кинематическая мера изменения скорости точки.

Прямолинейное движение. При прямолинейном движении точки вектор скорости всегда совпадает с траекторией, поэтому вектор изменения ускорения также совпадает с траекторией.

Если за небольшой промежуток времени At скорость точки изменилась на А У у то среднее ускорение будет.

Истинное ускорение есть предел, к которому стремится среднее ускорение при А/, стремящемся к нулю, то есть.

Таким образом, учитывая, что у =— получим.

dt

Истинное ускорение в прямолинейном движении равно первой производной скорости или второй производной координаты по времени.

Единица ускорения:

Пример 3. Точка движется прямолинейно по закону S = f⁴ + 2t (5- в метрах, t — в секундах). Найти её среднее ускорение в промежутке между моментами t = 5 с, t₂ = 7 с, а также её истинное ускорение в момент /₃ = 6 с.

Решение. 1. Находим скорость движения точки как производную от пути S по времени /, то есть.

2. Подставляя вместо t его значения t = 5 с и t₂ * 7 с, находим скорости:

3. Определяем приращение скорости ДРза время Д* = 7 — 5 =2 с:

4. Таким образом, среднее ускорение точки будет равно.

5. Для определения истинного значения ускорения точки берём производную скорости по времени:

6. Подставляя вместо / значение = 6 с, получим ускорение в этот момент времени

Криволинейное движение. При криволинейном движении скорость точки изменяется по величине и направлению.

Представим себе точку Л/, которая за время А/, двигаясь по какой-то криволинейной траектории, переместилась в положение М (рис. 26). Вектор приращения (изменения) скорости Д V будет.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Для нахождения вектора ДУ перенесём вектор 7_] в точку М и построим треугольник скоростей. Определим вектор среднего ускорения:

Вектор а_ер параллелен вектору.

АУ, так как от деления вектора на скалярную величину направление вектора не изменяется. Вектор истинного ускорения есть предел, к которому стремится отношение вектора скорости к соответствующему промежутку времени At, стремящемуся к нулю, то есть.

Такой предел называют векторной производной.

Таким образом, истинное ускорение точки при криволинейном движении равно векторной производной по скорости.

Из рис. 26 видно, что вектор ускорения при криволинейном движении всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

Для удобства расчётов ускорение раскладывают на две составляющие к траектории движения: по касательной, называемое касательным (тангенциальным) ускорением а, и по нормали, называемое нормальным ускорением а_п (рис. 27).

Рис. 27. Касательное (а,) и нормальное Са") ускорения точки В этом случае полное ускорение будет равно

Касательное ускорение совпадает по направлению со скоростью точки или противоположно ей. Оно характеризует изменение величины скорости и соответственно определяется по формуле

Нормальное ускорение перпендикулярно к направлению скорости точки, а численное значение его определяется по формуле

где г — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке.

Так как касательное и нормальные ускорения взаимно перпендикулярны, то величина полного ускорения определяется по формуле.

а его направление

Если , то векторы касательного ускорения и скорости направлены в одну сторону и движение будет ускоренным.

Если , то вектор касательного ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости, и движение будет замедленным.

Вектор нормального ускорения всегда направлен к центру кривизны, поэтому оно называется центростремительным.

Пример 4. Точка обода маховика двигателя в период разгона движется согласно закону S = 0,2^ (S — в метрах, t — в секундах). Радиус маховика г = 0,8 м. Определить касательное и нормальное ускорения точки в момент, когда ее скорость У= 20 м/с.

Решение. 1. Определяем время разгона маховика при скорости V = 20 м/с, для чего вычислим производную пути по времени, то есть.

откуда время t будет

2. Для этого момента времени находим касательное ускорение как производную скорости по времени:

3. Находим нормальное ускорение в конце разгона маховика, то есть.

Анализируя приведенные формулы касательного и нормального ускорений, можно установить следующие виды движения точки (рис. 28).

1 .Равномерное прямолинейное движение (рис. 28,а).

В этом случае касательное ускорение равно нулю, так как величина скорости не изменяется (АУ = 0) и нормальное ускорение равно нулю, так как г = со, то есть

Значит и полное ускорение равно нулю: а- 0.

2. Равномерное криволинейное движение (рис. 28, б).

Рис. 28. Виды движения точки: а — равномерное прямолинейное; б — равномерное криволинейное; в — неравномерное прямолинейное, г — неравномерное коиволинейное.

Оно характеризуется тем, что численное значение скорости постоянно (V — const), а вектор скорости меняется (г ф оо), то есть.

Полное ускорение при этом движении равно нормальному ускорению:

3. Неравномерное прямолинейное движение (рис. 28, в) характеризуется тем, что модуль скорости движения точки изменяется (ЛИ * 0), а радиус кривизны траектории движения точки равен бесконечности (г = оо). В этом случае касательное ускорение не равно нулю, а нормальное равно нулю, то есть.

Полное ускорение в этом случае будет.

4. Неравномерное криволинейное движение (рис. 28, г) характерно тем, что скорость движения непостоянна (V * const) и вектор скорости изменяется (г * оо). В этом случае касательное и нормальное ускорения не равны нулю, то есть

Полное ускорение складывается геометрически из касательного и нормального ускорений:

5. Равнопеременное движение точки характеризуется тем, что если нормальное ускорение не равно нулю (а_п * 0), то имеет место криволинейное движение, а если а" - 0 — прямолинейное. В этом случае касательное ускорение есть величина постоянная, то есть.

Формулы равнопеременного движения точки. Равнопеременное движение может быть равномерно ускоренным, если численное значение скорости увеличивается, и равномерно замедленным, если численное значение скорости уменьшается. Величину ускорения можно определить через значения скорости в начале и в конце произвольного промежутка времени г, то есть

где Vo — начальная скорость.

Преобразуя формулу касательного ускорения, находим значение скорости:

При равномерно ускоренном движении ускорение a_t имеет положительное значение, а при равномерно замедленном — отрицательное.

Путь, пройденный точкой при равнопеременном движении, определяется из уравнения:

откуда после подстановки значения скорости и преобразований получим уравнение пройденного точкой пути, то есть.