Контрольные вопросы. 
Алгебра и теория чисел. 
Группы, кольца и поля

• 1. Существуют ли подгруппы в группе, не имеющие общих элементов?
• 2. Может ли в группе неединичный элемент совпадать со своим обратным?
• 3. Если А — подгруппа группы В, а В — подгруппа группы С, то будет ли А подгруппой группы С?
• 4. Если Ну и Я₂ — подгруппы некоторой группы, то будет ли подгруппой объединение множеств Я, и Н₂?
• 5. Может ли порядок собственной подгруппы группы равняться порядку самой группы? Если нет — докажите, если да — приведите пример.
• 6. Чему равны порядки групп S" и А_п?
• 7. В какой группе существует единственный обратный элемент для всех элементов группы?
• 8. Чему равно пересечение всех подгрупп группы?
• 9. Будет ли группа конечной, если число ее подгрупп конечно?
• 10. Будет ли группа коммутативной, если всякая ее собственная подгруппа коммутативна?

Задачи

• 1. В каждой группе из приведенных в подпараграфе 1.1.2 примеров групп выберите элементы а, b и решите уравнения ax = b иуа = b в мультипликативной группе и уравнение а +х=Ъ в аддитивной группе.
• 2. Докажите, что решения уравнений а? х = Ь иу? а = Ь совпадают тогда и только тогда, когда а • b = Ъ • а.
• 3. В каждой группе из приведенных в подпараграфе 1.1.2 примеров групп приведите примеры подгрупп. В частности, выпишите все подгруппы групп S₃ и S₄. Найдите в них подгруппы четных подстановок — соответственно А₃ и А_л.
• 4. Докажите, что подмножество Н группы G является подгруппой данной группы тогда и только тогда, когда Я * 0 и для любых а, Ь е Я

а~^гЬ е Я. Сформулируйте этот критерий подгруппы в аддитивной терминологии.

• 5. Пусть р_ь р₂, …, р_п — различные простые натуральные числа, п > 2, и й — произведение всех этих чисел, кроме числар, г = 1,…,п. Докажите, что Z = (р₁,…, р_п) (т.е. аддитивная группа целых чисел порождается указанными произведениями) и ни одно из порождающих чисел нельзя удалить.
• 6. Пусть Я — подгруппа группы G и g е G.
• 1) Докажите, что подгруппами являются множества g~¹Hg={g~¹hg he е Я} и gHg-¹ = {ghg-¹ | he Н}.
• 2) Докажите, что g-'Hg = Я тогда и только тогда, когда gH = Hg, где gH={gh he Я}, Hg = {hg he Я}.
• 3) В каком случае g~¹Hg = gHg-¹?
• 7. Существует ли в аддитивной группе комплексных чисел С такая подгруппа Я, что К < Я < С?