Определение факториального кольца и примеры разложений на простые множители

Определение 3.6. Будем говорить, что в области целостности К элемент а однозначно разложим на простые множители, если существуют простые элементы р_ь р₂, …, ре К, такие что а = р_гр₂ ? … • р*, и если имеем еще одно разложение данного элемента на простые множители а = q^q₂ ? … • q_m, то к-т и при подходящей нумерации q_t— = е₍р_1У где e_f — делители единицы, i = 1, …, к. Другими словами, соответствующие простые множители ассоциированы.

Определение 3.7. Факториальным кольцом называется область целостности К, в которой всякий ненулевой элемент, не являющийся делителем единицы, однозначно разложим на простые множители.

Образно говоря, кольцо факториально, если в нем имеет место аналог основной теоремы арифметики.

Рассмотрим примеры разложений на простые множители в кольце целых комплексных чисел Z + Zi.

• 1. -360t = -i ? 2³ • З² • 5 = -i • (1 + 0³d — О³ • З² • (1 + 20(1 — 2Q.
• 2. а = 5 — 8i. Находим | а |² = 15 — 8i |² = 5² + 8² = 89 — простое число, и если предположить, что, а = Ру, где (3, у <�е Z + Zi, то 89= |сх|² = |Р|² — |у|², откуда либо |Р|² = 1, либо |у|² = 1, а значит, одно из чисел Р или у является делителем единицы. Это доказывает простоту числа, а (впрочем, как отмечалось выше, простота числа, а вытекает из того, что | а |² есть простое число вида Ап + 1).
• 3. а = 7 + 9i. Находим

Теперь путем испытаний выбираем из этого разложения простые множители данного числа 7 + 9г:

Следовательно, 7 + 9i = (1 + 0(1 + 2i)(2 — 3i).

Следовательно, 7 + 9i = (1—0Cl + 2Q (3 + 2i). Сравнивая это разложение с первоначальным, видим, что 1 + i = i (l — 0, 2−3i = (-i)(3 + 20, т. е. соответствующие множители отличаются лишь на делители единицы, а значит, ассоциированы.

Заметим, что попытка выбрать множитель 1 — 2i заканчива;

" 7 + 9i (7 + 90(1 + 20 -ll + 23i.

ется неудачей: —_Г =——-=—нецелое ком;

1 21 1 I 2 5.

плексное число.

Рассмотренные примеры подсказывают следующую стратегию разложения целого комплексного числа а — а + Ы на простые множители.

• 1. Находим НОД (а, b) = d и представляем, а в виде, а = d (a₁ + + bp), где НОД (а_1; b,) = 1.
• 2. Находим разложение числа d на простые множители в Z. Простые множители этого разложения вида Лп + 3 являются простыми в Z + Zi. Если в разложении есть простое число р = 2 или р = 4п + 1, то представляем его в виде суммы двух квадратов: р = х² +у², а затем раскладываем на простые в Z + Zг множители: р — (х + уi) (х — у 0.
• 3. Если а_х 9* 0 и bj ^ 0, то находим разложение числа aj + bp на простые множители в Z + Zi. Для этого вычисляем af + bf и полученное число раскладываем на простые множители в Z + Zi (как в примере 2). Затем из полученного разложения выбираем путем испытаний простые множители числа а_г + Ьр.
• 4. Соединяя результаты п. 2 и 3, записываем ответ.

Пример. Разложим число, а = 1309 + 357i на простые множители в Z + Zi.

Решение. 1. Находим НОД (1309, 357) = 119. Таким образом, а = 119(11+ 30.

• 2. Находим разложение числа 119 на простые множители сначала в Z, а потом и в Z + Zi: 119 = 7 • 17 = 7 • (1 + 4i)(l — 4i).
• 3. Находим разложение на простые множители числа (3 = = 11 + 3i. Имеем |(3|² = 111 + 3i|² = II² + З² = 130. Выше было установлено, что 130 = (1 + i)(1 — i)(l + 2i)(l — 2i)(2 + 3i)(2 — 3i).

Следовательно, 11 + 3 i = (1 + 0(1−20(3 + 20.

Ответ: 1309 + 357* = 7 • (1 + 40(1−40(1 + 0(1 — 20(3 + 20. В заключение приведем примеры разложений на простые множители в кольцах многочленов. В кольце Q[x] имеем:

Упражнение 3.2. Разложите этот многочлен на простые множители в кольце С[х].

В кольце многочленов Z[x] имеем разложение на простые множители 45х³ — 15х² — 30 = 3 • 5 • (Зх² + 2х + 2) (х — 1).

Ниже мы докажем общую теорему, из которой будет следовать факториальность колец Z, Z + Zi и кольца многочленов Р[х] над полем Р. В дополнение отметим, что кольцо многочленов К[х] над факториальным кольцом К факториально. Отсюда, в частности, следует факториальность колец многочленов Z[x_1; …, х"] и (Z + Zi)[x_1;…, х"].