Определение касательных напряжений и деформаций при кручении стержня круглого сечения

Крутящие моменты представляют собой равнодействующие внутренних сил. При кручении стержня в его поперечных сечениях возникают непрерывно распределенные касательные напряжения, которые нужно уметь определять при расчетах на прочность.

Нанесем на круглый стержень ортогональную сетку и нагрузим его внешним моментом Т(см. рис. 2.39). По результатам этого опыта можно сделать следующие выводы:

• • прямоугольники ортогональной сетки превратились в параллелограммы, следовательно, в поперечных сечениях действуют касательные напряжения;
• • расстояния между линиями, нормальными к оси стержня, и длина всего стержня не изменились. Не изменился также и диаметр стержня. Можно предположить, что каждое поперечное сечение поворачивается в своей плоскости на некоторый угол, оставаясь плоским и нормальным к оси (гипотеза

Бернулли). На основании этой гипотезы делаем вывод о том, что радиусы всех поперечных сечений повернулись на определенные углы, оставаясь прямолинейными. Таким образом, точка К переместится в положение А" по дуге радиуса г, а точка N — в N’no дуге меньшего радиуса р (рис. 2.40, а).

Рис. 2.39.

Рис. 2.40.

На основании этого можно сделать вывод, что при кручении круглого стержня в его поперечных сечениях действуют только касательные напряжения, а нормальные напряжения отсутствуют, т. е. мы имеем случай чистого сдвига.

Для того чтобы установить закон распределения касательных напряжений по поперечному сечению круглого стержня, нагруженного крутящим моментом Т, рассмотрим его деформацию между сечениями / и II (см. рис. 2.39 и рис. 2.41).

Рис. 2.41.

Угол сдвига элемента ABCD, расположенного на поверхности стержня:

Угол сдвига элемента, расположенного на расстоянии р от оси стержня:

На основании закона Гука для сдвига можно записать.

Из формулы (2.58) следует, что при кручении касательные напряжения т и деформации у прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения. В центре тяжести круглого сечения касательные напряжения равны нулю, наибольшее значение они принимают на поверхности стержня. Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении круглого стержня изображена на рис. 2.40, б.

Определим касательные напряжения из условия, что крутящий момент в сечении представляет собой равнодействующий момент от касательных напряжений (рис. 2.42):

где тс1А — элементарная сила, действующая на площадке с/Л.

Ри<. ! 4!

'[:д:тши з эыршени; (2.5)) ка: г" ;т л:>:е кагрглег щ к фо;- vr/r]" (2 :>*):

Интеграл f p²dA представляет собой полярный момент инерции.

J А ^.

круглого сечения J_p, следовательно, М_к =G—J_p, откуда:

Подставим значение dQ/dz в формулу (2.58) и получим:

Из выражения (2.62) следует, что в точках, равноудаленных от центра сечения, касательные напряжения одинаковы. Наибольшие напряжения т возникают в точках, расположенных на поверхности стержня, где р = г.

где величина W_p, представляющая геометрическую характеристику плоского сечения, носит название полярного момента сопротивления или момента сопротивления при кручении:

Для круглого сплошного сечения:

Для кольцевого сечения (см. рис. 2.28):

где а = d/D.

Запишем условие статической прочности при кручении, обозначив допускаемое касательное напряжение через [т]:

Величину [т] принимают равной 0,5—0,6 допускаемого напряжения на растяжение. Уравнение (2.67) можно использовать только для круглых валов, как сплошных, так и полых; для валов других сечений его применять нельзя. Используя условие прочности, можно рассчитать диаметр вала либо определить максимальный допускаемый крутящий момент, который может передать вал. Подставим в формулу (2.67) выражение полярного момента сопротивления:

откуда:

Аналогично для полых валов можно записать:

Допускаемый из условия статической прочности при кручении максимальный крутящий момент определяют по формуле:

Определение деформаций при кручении стержня круглого сечения Для определения деформаций вала при кручении воспользуемся формулой (2.61):

Взаимный угол поворота сечений на длине dz равен:

где G J_P — жесткость вала при кручении. Если крутящий момент и жесткость не изменяются на всем участке интегрирования, то полную деформацию участка вала длиной / можно определить по формуле:

Эта формула по структуре аналогична формуле для определения деформации при растяжении и сжатии.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины вала, называется относительным углом закручивания:

На практике, кроме требований прочности, часто вводится условие жесткости, которое заключается в том, что относительный угол закручивания не должен превышать определенную величину, т. е.

Формула (2.76) выражает условие жесткости. В ней относительный и допускаемый угол закручивания на длине 1 м [ф] имеют размерность — радиан. В практике [ф] часто задают в градусах. В этом случае формулу (2.76) можно записать в виде:

Отметим, что для валов средних диаметров рекомендуют выбирать [ф°1 равным 0,5° на один метр длины. Из выражения (2.77) можно определить диаметр вала по заданной жесткости, учитывая, что полярный момент инерции.

Для полого вала формула расчета диаметра из условия жесткости:

Используя формулу (2.74), можно построить эпюру угловых перемещений поперечных сечений вала, нагруженного крутящими моментами. Если рассматривается вращающийся вал, у которого нет неподвижных сечений, то для построения эпюры углов закручивания одно из сечений необходимо принять за условно неподвижное. Примем следующее правило знаков для углов поворота сечений: углы 0 будут считаться положительными, когда сечение, расположенное справа, поворачивается относительно сечения, расположенного слева, по часовой стрелке. При таком условии знак угла закручивания будет совпадать со знаком крутящего момента на участке вала.

Построение эпюры углов закручивания рассмотрим на примере вращающегося вала, нагруженного четырьмя внешними моментами. Построим эпюру крутящих моментов и примем сечение В за условно неподвижное (см. рис. 2.43).

Угол поворота на участке ЛВ равен нулю, так как на этом участке отсутствует крутящий момент. Сечение С относительно В повернется на угол 6_св, который определим по формуле (2.74). С учетом принятого правила знаков:

где М_к — крутящий момент на участке ВС; 1_ВС— длина участка ВС.

В принятом масштабе [град/м] отложим ординату 0_СН. Полученную точку N соединим прямой линией с точкой М, так как зависимость угла поворота от длины участка вала линейная. Вычислим угол закручивания сечения D относительно сечения С:

Угол поворота сечения D относительно сечения В, принятого за неподвижное, определяем как алгебраическую сумму углов D относительно С и С относительно В:

Рис. 2.43.

Аналогично определяем угол закручивания сечения /''относительно D и затем Е относительно В:

На участке ЕКповорота сечений не происходит, так как крутящий момент на этом участке равен нулю. Все сечения данного участка поворачиваются относительно сечения В на такой же угол, на какой повернулось относительно В сечение Е. Участок эпюры здесь будет в виде прямой линии PR, параллельной оси вала.