Статистическая оценка надежности решений методом факторного анализа

Корректное решение задач при помощи методов факторного анализа предполагает подтверждение значимости исходной матрицы парных корреляций (ковариаций) и достаточности числа обобщенных факторных признаков в анализе.

Значимость корреляционной матрицы подвергается проверке, если принять во внимание, что незначимые корреляционные (ковариационные) связи элементарных признаков не дают оснований для поиска обобщенных признаков. В этом случае все вычисленные собственные числа будут близки к единице, и обобщенные факторы по составу становятся очень похожими на элементарные признаки. Проведение факторного анализа теряет смысл.

Проверка значимости матрицы парных корреляций осуществляется при помощи критерия Уилкса, наблюдаемое значение которого находится по формуле.

где р — матрица парных корреляций; п, р — соответственно число наблюдаемых объектов и число элементарных признаков в анализе.

Определитель . Если табличное значение распределения х²

при заданном уровне значимости и числе степеней свободы 0,5р (р — 1) меньше расчетного, то значимость корреляционной матрицы подтверждается.

Для оценки достаточности числа выделенных общих факторов в методе главных компонент используется критерий Бартлетта

Здесь k — число оставленных в анализе главных компонент, а.

Число степеней свободы для критерия yj будет равно 0,5((р — k)² — - (р + k)), и если наблюдаемое значение меньше табличного, то принимается предположение о том, что выделенные k главных компонент достаточно полно представляют дисперсию р элементарных признаков и остальные p-k компонент могут в анализе не рассматриваться из-за незначительного уровня их информативности. Иначе, в анализ для формирования выводов должны быть введены дополнительно другие главные компоненты.

Для оценки адекватности факторной модели в целом может использоваться подход Хармана. К сожалению, он не содержит рекомендаций по поводу пороговых уровней, скажем неадекватности, но в сравнении с другими приемами значительно легче при реализации и базируется на простой средней оценке расхождений исходных и воспроизведенных (?]j) коэффициентов корреляции:

Средний квадрат отклонений Хармана исчисляется по всем, кроме диагональных, коэффициентам корреляции. Из нескольких моделей факторного анализа, естественно, будет лучше та, для которой средняя сумма квадратов отклонений окажется наименьшей.