Иллюстрирующая концепцию. 
Конкурентные стратегии современной фирмы

Случайная переменная х (например, цена акций компании А) с вероятностью 0,3 может принять значение 50, с вероятностью 0,2 — значение 100, с вероятностью 0,5 — значение 130. Случайная величина у (например, цена акций компании В) может принять с вероятностью 0,6 значение 50, с вероятностью 0,4 — значение 275. Вероятности совместного появления величин х и у представлены в таблице.

Найти показатели ковариации и корреляции для портфеля вложений.

Решение

Вычислим средние величины для каждой ценной бумаги:

Найдем показатели среднего квадратичного отклонения:

Рассчитаем значение ковариации:

Найдем коэффициент корреляции:

Данное значение показывает, что цены имеющихся активов очень слабо коррелированны (взаимосвязаны) между собой. Динамика переменной х практически никак не отражается на поведении переменной у.

Как же составить оптимальный портфель из нескольких рискованных активов?

Предположим, компания хочет распределить свои средства между двумя видами ценных бумаг — акций компании А и акций компании.

В. Известны показатели риска и доходности для этих ценных бумаг: (^стл;^гд)^и(^ав;^гв) соответственно. Пусть, а — доля акций компании А

в портфеле инвестора. Тогда средняя доходность портфеля будет равна г=а-г_А+а-а)-г_в. Это — ожидаемая доходность портфеля вложений.

Риск портфеля находится по формуле дисперсии суммы двух случайных переменных:

Если ожидаемая доходность инвестиционного портфеля представляет собой средневзвешенную из средних доходностей ценных бумаг, где в качестве весов используются доли активов во вложении, то риск комплексных вложений является более сложным по своей природе. В зависимости от корреляции доходности активов между собой, т. е. в зависимости от характера взаимосвязи динамики ценных бумаг, риск портфеля может как уменьшаться, так и увеличиваться по сравнению с суммой рисков отдельных вложений самих по себе.

Рассмотрим частный случай.

Пусть  — доходности и риски ценных бумаг одинаковы. Предположим, фирма-инвестор вкладывает половину своих средств в акции компании А и половину — в акции компании В:

Доходность портфеля будет равна средней доходности любой из ценных бумаг. Риск портфеля составит.

Если р = 0 — бумаги не связаны друг с другом, не коррелируют друг с другом, то а² =0,5-of— дисперсия портфеля оказывается равной только половине дисперсии каждого из вложений по отдельности.

Если р = —1, то а² =0 — у портфеля активов риск отсутствует, мы получаем безрисковый портфель вложений.

Если р = 1, то а² =ст? — риск портфеля равен риску одной из ценных бумаг. Это максимальный риск для данного случая.

Таким образом, правильная диверсификация портфеля уменьшает совокупный риск. Дисперсия портфеля вложений меньше (или в крайнем случае, не больше) средневзвешенной суммы дисперсий входящих в него активов.

Зная, как связаны между собой дисперсия портфеля вложений и доля, приходящаяся на одну ценную бумагу, можно найти оптимальную а*, при которой риск портфеля минимальный. Для этого вычислим условие первого порядка: . Откуда получаем.

Найдем оптимальные доли акций при разных значениях коэффициента корреляции:

В каждой из этих случаев при соблюдении оптимальных долей фирма получает безрисковый портфель: о² = 0.

Обратим внимание на последний случай. Когда доходности ценных бумаг положительно коррелируют между собой, то.

• 1) если а_в >ст_д,(1-а)<0 или
• 2) если ст_в <�ст_л, а<0.

Это означает, что в оптимальном портфеле доля одной из акций должна быть меньше нуля — инвестор должен продавать ценные бумаги «без покрытия», не имея их в наличии. Данная ситуация носит название «короткие продажи».

Однако не всем компаниям нужен минимальный риск портфеля. Некоторые инвесторы готовы нести более высокий риск, если им предложат портфель с более высокой ожидаемой доходностью.

Выразим из уравнения с² (а) = а² • + (1 — а)² • с| + 2а (1 — а) • а_А ? а_в ? р значение доли, а как функции от рисков ценных бумаг и портфеля в целом: а = а (ст_А;ст_в :ст²). Подставим это значение в уравнение средней доходности портфеля: г =а-г_А+(1-а)-г_в. В результате мы получим функциональную зависимость между доходностью и риском портфеля, в зависимости от коэффициента корреляции: г^е =/(а²;р).

Рисунок 7.7 демонстрирует эту зависимость графически при разных р.

Так как коэффициент корреляции не может быть больше единицы и не может быть меньше (-1), линия зависимости между риском и доходностью портфеля вложений очерчивает эффективное множество возможных портфелей для инвестирования. Эффективное множество обладает двумя характеристиками. Любой портфель из этого множества: 1) обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска; 2) обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности. Эффективное множество представлено серой областью на рис. 7.7. Портфели, расположенные за границами эффективного множества, не являются эффективными и никогда не будут выбраны инвестором.

Граница эффективного множества показывает линию бюджетного ограничения для инвестора, выбирающего оптимальный портфель вложений. Предпочтения инвестора относительно риска и доходности и здесь могут быть представлены в виде функции полезности. Примером подобной функции полезности служит функция М. Рубинштейна:

U = 4^х • г^е — а², где 4^х показывает индивидуальные предпочтения инвестора относительно доходности и риска. В качестве параметра 4^х можно использовать индекс Пратта — Эрроу.

Рис. 7.7. Эффективное множество портфелей.

Выразив значение доходности портфеля через переменную риска (дисперсии портфеля), получаем кривые безразличия с положительным наклоном:

Теперь с помощью обычных методов оптимизации можно найти максимальную полезность при ограничении, описываемом границей эффективного множества. Поскольку для инвестора, не склонного к риску, кривые безразличия выпуклы и имеют положительный наклон, а граница эффективного множества вогнута, это решение будет единственным. Рисунок 7.8 показывает равновесие инвестора при выборе только рисковых активов и при наличии безрисковой альтернативы.

Рис. 7.8. Оптимальный выбор инвестором портфеля рисковых активов.

Если инвестору предлагаются только рисковые активы, то линия CD характеризует границу эффективного множества портфелей. Оптимум инвестора находится в точке Е_] — точке касания линии CD и кривой безразличия У]. При включении одного безрискового актива инвестор будет ориентироваться на линию АВ, показывающую теперь его бюджетное ограничение (как в модели Марковица, проанализированной ранее). Так как выбор осуществляется на основе одинакового набора рисковых вложений, к которым только добавляется один безрисковый актив, линия АВ должна касаться линии CD — на рисунке это точка К. Точка К никогда не будет выбрана, поскольку характеризует портфель с более высоким риском, чем набор в точке Это показывает и тот факт, что точка К расположена на менее предпочитаемой кривой безразличия.

Будет ли выбран портфель с безрисковым активом, если имеются портфели только с рисковыми активами? Да, для инвестора, не склонного к риску, кривая безразличия, соответствующая выбору портфеля с безрисковым активом, расположена левее и выше, чем выбор исключительно рискованного набора. Оптимум в данном случае будет находиться в точке Е₂, соответствующей кривой безразличия U₂. А так как U₂ > U_b портфель Е₂ окажется для инвестора предпочтительнее портфеля Е_г.