Виды свойств объектов

Как было показано, содержание любого понятия состоит из существенных свойств, присущих определенному классу предметов. Именно эти свойства выделяют эти предметы из предметов других классов. Как процесс усвоения понятий, так и процесс последующего использования их связан с работой со свойствами. Это означает, что учащиеся прежде всего и должны научиться видеть свойства, знать виды свойств, уметь выделять их.

Для того, чтобы учащиеся могли подойти к пониманию существенных свойств, вначале важно научить их вообще выделять свойства в предметах. Разумеется, это должно делаться в начальной школе. Обычно учащиеся этого возраста не видят, что объект обладает множеством различных свойств. Как же научить учеников видеть эти свойства? Для этого необходимо раскрыть содержание приема по выделению свойств в предметах. Прием состоит в сопоставлении данного предмета с другими предметами, обладающими различными свойствами, в результате чего ученик выделяет те свойства, которые ранее были для него скрыты.

Овладение приемом сопоставления дает возможность перейти к выделению в предметах общих и отличительных свойств. Учащиеся, работая с несколькими предметами (например, кубиками разного размера, цвета, материала, из которого они сделаны, и т. д.), выделяют те свойства, которыми эти предметы отличаются друг от друга (отличительные свойства), и свойства, общие для этих предметов (например, форма куба).

После обучения учащихся выделению в предметах общих и отличительных свойств следует научить их отличать в предметах существенные, важные свойства (с точки зрения определенного понятия), от несущественных, второстепенных. С этой целью можно ввести прием, помогающий учащемуся установить, какие свойства данных предметов являются существенными, а какие нет.

Прием состоит в последовательном варьировании несущественных, второстепенных свойств данного предмета и констатации того, что это не приводит к изменению принадлежности предмета к определенному понятию (классу). Так, треугольник остается треугольником независимо от размера его углов, сторон, пространственного расположения самого треугольника.

Изменение же существенных свойств рассматриваемого предмета приводит к тому, что этот предмет будет относиться уже к другому понятию. Например, увеличение количества сторон треугольника не позволяет относить эту фигуру к понятию треугольника — это может быть четырехугольник, пятиугольник и т. д.

Прием выделения существенных и несущественных свойств целесообразно отработать на различных предметах, принадлежащих к разным областям знаний, для того чтобы учащиеся видели общий характер приема, его независимость от конкретного материала. Так, на примере понятия «лиственные деревья» можно показать учащимся, что эти деревья могут отличаться друг от друга очень многими свойствами: цветом коры, формой и цветом листьев, толщиной и длиной ствола, количеством ветвей и т. д. Однако у всех этих деревьев остается неизменным одно свойство — наличие листьев, что и дает нам право называть их лиственными деревьями. Если же мы изменим это существенное свойство — возьмем деревья не с листьями, а с хвоей, то не сможем их называть лиственными деревьями: это будут хвойные деревья.

Учащиеся склонны любое общее свойство принимать за существенное, поэтому важно показать им, что все существенные свойства являются одновременно и общими для данного класса предметов. Так, наличие у геометрической фигуры — треугольника — трех сторон, является одновременно общим и существенным признаком всех треугольников. В тоже время необходимо показать учащимся, что не все общие свойства в предметах являются их существенными свойствами. Например, общими у всех треугольников, изучаемых в планиметрии, является то, что они расположены на плоскости. Это свойство является общим, но не существенным свойством этих геометрических фигур (треугольник может быть расположен и в трехмерном пространстве).

Умение дифференцировать свойства предметов на существенные и несущественные позволяет подвести учащихся к пониманию таких видов свойств, как необходимое, достаточное, необходимое и достаточное.

Необходимые свойства понятия это те, которые обязательно имеются у всех предметов, относящихся к данному понятию, а также у некоторых предметов, относящихся к противоположному понятию того же рода.

Достаточные свойства понятия это те, которые присущи некоторым предметам, относящимся к данному понятию, и не присущи ни одному предмету, относящемуся к противоположному понятию того же рода.

Необходимые и достаточные свойства понятия это те, которые обязательно имеются у всех предметов, принадлежащих к этому понятию, и не имеются ни у одного предмета, принадлежащего к противоположному понятию того же рода.

Отсутствие одного из указанных свойств понятия или сразу всех приводит к тому, что данный предмет оказывается не относящимся к данному понятию. Так, свойство «часть прямой» является необходимым свойством любого отрезка или луча. Если у геометрического объекта нет этого свойства, то он не относится к понятию «отрезок» (или «луч»).

Свойство «имеет две граничные точки» или «ограничена с двух сторон» присуще только понятию «отрезок» и не присуще понятию «луч». Следовательно, указанные свойства являются необходимыми и достаточными по отношению к понятию «отрезок».

Непонимание разницы между необходимыми, достаточными, необходимыми и одновременно достаточными свойствами является широко распространенным явлением среди учащихся. Так, учащимся седьмых классов были предложены специальные задания, выполнение которых предполагает владение умением дифференцировать эти виды свойств. Вот одно из этих заданий: «Известна теорема: „диагонали ромба взаимно перпендикулярны“. Объясните, какая из двух формулировок этой теоремы справедлива: 1) если четырехугольник есть ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны; 2) если диагонали перпендикулярны, то данный четырехугольник есть ромб».

Результаты выполнения задания показали, что с ним справились 50% учащихся (выбрали в качестве верного первое определение). 26% учащихся ответили, что оба предложенных утверждения являются правильными. Характерно, что эти учащиеся вообще не видели разницы в указанных положениях. Они считали, что в обеих формулировках говорится об одном и том же, «только слова переставлены местами». Это означает, что они не понимают разницы между свойствами необходимыми и свойствами достаточными.

Во втором утверждении указанные свойства являются необходимыми для ромба, но они не достаточны для его определения, так как этим требованиям удовлетворяет не только ромб, но и дельтоид.

Аналогичные ошибки допускают учащиеся в работе не только с математическим, но и с другим материалом. Так, ученикам VIII-IX классов было предложено следующее задание: «Докажите, какие из данных слов — красота, камин, большой, гвоздь — являются прилагательными, а какие не являются». Один из учеников совершенно правильно воспроизвел определение прилагательного, но применить его корректно не смог. Вот его ответ: «Надо проверить по вопросу „какой?“. Если слово отвечает на этот вопрос, тогда оно прилагательное». Учитель обращает внимание ученика на то, что в определении указано еще одно свойство: прилагательные обозначают признаки предметов. Ученик растерялся и выполнять задание отказался.

В данном случае ситуация аналогична предыдущей: ученик путает необходимые и достаточные свойства. То, что прилагательным является слово, которое отвечает на вопросы «какой?

(какая?)" - это свойство необходимое: все прилагательные отвечают на этот вопрос. Любое слово, которое не отвечает на этот вопрос (не имеет этого свойства), прилагательным не является. Однако одного этого свойства недостаточно, чтобы выделить слова, являющиеся прилагательными. В самом деле, на вопрос «какой?» отвечают и слова, являющиеся причастиями: краснеющий, выходящий, бегущий и т. д. Вот почему для выделения прилагательных надо учитывать два свойства.

Важно показать, что не каждый необходимый признак является достаточным. Ошибки учащихся часто бывают связаны с тем, что они с необходимыми признаками действуют как с достаточными. Например, четырехугольник, имеющий хотя бы два прямых угла, они считают прямоугольником. Это неверно, так как такими свойствами обладает и прямоугольная трапеция. Как для прямоугольной трапеции, так и для прямоугольника это свойство необходимое, но ни для того, ни для другого объекта не является достаточным. Это означает, что не всякое необходимое свойство является достаточным. И наоборот, не всякое достаточное свойство является необходимым.