Показатели силы связи в модели множественной регрессии

Абсолютным показателем силы связи результата у с фактором х-_} в множественной линейной регрессии является коэффициент Ь_у Коэффициент Ь_} показывает, на сколько единиц в среднем изменится результат при изменении фактора Xj на единицу при фиксированном уровне других объясняющих факторов уравнения регрессии. Величины абсолютных показателей силы связи определяются единицами измерения данного показателя и поэтому не связаны между собой. Для сопоставления различных факторов уравнени я используются относительные показатели силы связи — коэффициенты эластичности, бета-коэффициенты и дельта-коэффициенты.

Коэффициенты эластичности бывают частные и средние.

Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится объясняемый фактор при изменении соответствующего объясняющего фактора на 1%, при постоянных значениях всех остальных объясняющих факторов модели.

Общая формула частного коэффициента эластичности имеет вид.

где  — функция множественной регрессии.

Средние частные коэффициенты эластичности.

характеризуют влияние каждого фактора на результат в среднем по всей выборке.

Коэффициенты эластичности показывают изменения результата при изменении факторов не в единицах, а в процентах, поэтому они сравнимы между собой. С их помощью можно ранжировать факторы, включаемые в модель. Коэффициенты эластичности можно использовать при отборе существенных факторов для множественной регрессии. Высокий уровень эластичности означает сильное влияние независимой переменной на зависимую переменную.

Заметим, что коэффициент эластичности не учитывает степень колеблемости объясняющих факторов, поэтому для уточнения оценки влияния регрессоров на зависимую переменную у применяются бета-коэффициенты.

Бета-коэффициенты (3_; показывают, на какую часть своего среднего квадратического отклонения а_/у в среднем изменится результат при изменении фактора Xj на величину своего среднего квадратического отклонения C_v. при фиксированном уровне других факторов, включенных в модель регрессии:

Дельта-коэффициенты показывают долю влияния каждого фактора в суммарном влиянии всех факторов:

Перечисленные коэффициенты позволяют упорядочить факторы по величине влияния на зависимую переменную.

Пример 4.7.

Имеются выборочные данные зависимости выхода продукции от работы трех цехов предприятия (табл. 4.8).

Исходные данные к примеру 4.7.

Таблица 4.8

Построим уравнение множественной линейной регрессии и проверим показатели силы связи.

Решение. По МНК получено уравнение регрессии.

Средние значения факторов, но совокупности наблюдений равны.

1. Коэффициент эластичности для объясняющей переменной х_х

При увеличении фактора х_{ на 1% результат у возрастает на 43,7% в среднем, но выборке при неизменном значении других факторов (х₂; х₃), включенных в модель.

2. Коэффициент эластичности для объясняющей переменной х₂

При увеличении фактора х₂ на 1% результат у уменьшится на 86,5% в среднем по выборке при неизменном значении других факторов (xi, x₃), включенных в модель.

3. Коэффициент эластичности для объясняющей переменной x_:i

При увеличении фактора х₃ на 1% результат у уменьшается на 0,9% в среднем по выборке при неизменном значении других факторов (x_ltx₂), включенных в модель.

Ясно, что положительное влияние на результат у оказывает фактор х_{у а два других фактора оказывают отрицательное влияние на результат.

4. Для нашего уравнения бета-коэффициенты равны

Стандартные отклонения вычисляются, но формулам.

Получим

Следовательно, при изменении производства первого цеха на с_Х{ выход продукции изменится в ту же сторону на 0,389а_у при неизменном значении х₂ и х₃. Работа второго и третьего цехов уменьшает выход продукции на 0,627о_/у и 0,007а_/у при изменении а_х-₂ и а_Лз на единицу.

5. Долю влияния каждого фактора оцениваем по величине дельта-коэффициентов: