Прогноз продаж с помощью тренд-сезонной модели

Тренд-сезонная модель используется для описания и прогнозирования временных рядов. В маркетинге одной из основных задач, решаемых с помощью таких моделей, является прогнозирование продаж. Суть данного подхода заключается в следующем: каждое значение временного ряда (У,) в момент времени t раскладывается на три составляющие: тренд (T_t), сезонную (S_t) и случайную компоненту (E_f).

Анализ временного ряда начинается с построения его графика, выявления наличия и характера тренда (для динамики продаж, как правило, линейный, полиномиальный 2-го или 3-го порядка); наличия и характера сезонности (аддитивная или мультипликативная). Период сезонных колебаний продаж, как правило, равен году. В случае аддитивной сезонности амплитуда сезонных колебаний не зависит от значений тренда, и сезонная компонента определяется как показатель абсолютного прироста к значению тренда (помесячного или поквартального в зависимости от временной шакалы ряда). В случае мультипликативной модели амплитуда сезонных колебаний зависит от значений тренда (для динамики продаж, как правило, большему значению тренда соответствует большая амплитуда), сезонная компонента определяется как сезонный индекс, на который умножается значение тренда (рис. 5.7).

Рис. 5.7. Модели с аддитивной и мультипликативной сезонностью:

SD_t и ED_t — сезонная и случайная компонента, представляют собой абсолютные приросты к значению тренда; SI_t и EI_t— сезонная и случайная компонента, определяются как индексы, умножаемые на значение тренда Пример 5.6.

Построим тренд-сезонную модель для двух временных рядов, описывающих помесячные продажи двух компаний за три года.

Динамика продаж первой компании и ее линейный тренд представлены на рис. 5.8, часть исходных и расчетных данных — в табл. 5.4.

Рис. 5.8. Динамика продаж компании № 1 и ее линейный тренд (у.е.)

На основе графика можно сделать вывод, что имеется тенденция к росту, хорошо описывающая линейным трендом (уравнение тренда представлено на графике); имеется аддитивная сезонность, поскольку несмотря на интенсивный рост амплитуда колебаний не увеличивается. Следовательно, временной ряд может быть описан уравнением (5.4), причем уравнение тренда описывается линейным уравнением:

где Т, — значение тренда в момент времени t; а₀, а, — коэффициенты тренда.

Рис. 5.9. Исходные и расчетные данные по продажам компании № 1 (фрагмент, у.е.)

В нашем случае а₀ = 355,37; а; = 507,87.

Для того чтобы при моделировании продаж учесть сезонность, перейдем к аддитивной модели продаж, в которой к тренду добавляется сезонная компонента.

Алгоритм построения аддитивной модели включает следующие этапы.

• 1. Построение графика исходного ряда (Y_t) для оценки его тенденции и сезонности с трендом (T_t) и выводом уравнения тренда.
• 2. Расчет значений тренда (T_t) на основании полученного уравнения.
• 3. Расчет разности исходного ряда и тренда (Y, — Г,).
• 4. Расчет сезонной компоненты (12 значений, повторяющихся каждый год) для каждого месяца как средней арифметической разности (Y_c — T_t) по всем годам:

где SD_k — сезонная компонента к-го месяца (к = 1: 12); (Y_kj — T_kj) — разность исходного ряда и сезонности к-го месяца j-ro года за т лет.

• 5. Построение модели как суммы тренда и сезонной компоненты (T_t + SD_t).
• 6. Построение прогноза на 1 год за счет продления на 12 наблюдений номеров месяцев, тренда, сезонной компоненты и модели.
• 7. Построение графика исходного ряда и модели для визуальной оценки ее качества.

Проиллюстрируем особенности применения Excel для построения аддитивной тренд-сезонной модели, используя данные начала примера 5.6.

Для вывода тренда на графике используется контекстное меню для вывода уравнения тренда — раздел Формат линии тренда. Тренд для 1-го месяца рассчитывается по формуле.

где А2 — номер месяца.

Сезонная компонента за январь рассчитывается по формуле.

где D2, D14, D26 — разница между фактическим значением продаж и трендом за январь трех лет.

Значение расчетного (смоделированного) значения продаж за январь рассчитывают по формуле.

где С2 — значение тренда; Е2 — значение сезонной компоненты.

В результате был построен график исходного ряда, модели и прогноза на один год (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Исходный ряд, модель и прогноз продаж компании № 1 (у.е.)

Динамика продаж второй компании и ее линейный тренд представлены на рис. 5.11, часть исходных и расчетных данных — на рис. 5.12.

Рис. 5.11. Динамика продаж компании № 2 и ее линейный тренд (у.е.)

Рис. 5.12. Исходные и расчетные данные по продажам компании № 2

(фрагмент, у.е.)

На основе графика можно сделать вывод, что имеется тенденция к росту, хорошо описывающая линейным трендом (уравнение тренда представлено на графике); имеется мультипликативная сезонность, поскольку с ростом продаж амплитуда их колебаний увеличивается. Следовательно, временной ряд может быть описан уравнением, причем уравнение тренда описывается линейным уравнением.

В нашем случае а₀ = 25 639; aj =1806.

Для того, чтобы при моделировании продаж учесть сезонность, перейдем к мультипликативной модели продаж, в которой тренд умножается на сезонную компоненту (сезонный индекс).

Алгоритм построения мультипликативной модели включает следующие этапы:

• 1. Построение графика исходного ряда (Y_t) для оценки его тенденции и сезонности с трендом (T_t) и выводом уравнения тренда.
• 2. Расчет значений тренда (T_t) на основании полученного уравнения.
• 3. Расчет отношения исходного ряда и тренда (Y,: T_t).

4. Расчет сезонной компоненты (12 значений, повторяющихся каждый год) для каждого месяца как средней геометрической отношения (7_t: T_t) по всем годам:

где: SI_k — сезонная компонента k-го месяца (/с = 1: 12); (Y_kj: T_kj) — отношение исходного ряда и сезонности к-го месяца j-го года за т лет.

• 5. Построение модели как произведения тренда и сезонной компоненты (T_t? SD₍).
• 6. Построение прогноза на один год за счет продления на 12 наблюдений номеров месяцев, тренда, сезонной компоненты и модели. 7. Построение графика исходного ряда и модели для визуальной оценки ее качества. Проиллюстрируем особенности применения Excel для построения мультипликативной тренд-сезонной модели, используя данные примера 5.6.

Пример 5.6 (продолжение) Тренд для 1-го месяца рассчитывается по формуле где А2 — номер месяца.

Сезонная компонента за январь рассчитывается по формуле.

где D2, D14, D26 — отношение между фактическим значением продаж и трендом за январь трех лет.

Модель за январь рассчитывается по формуле.

где С2 — значение тренда; Е2 — значения сезонной компоненты.

В результате был построен график исходного ряда, модели и прогноза на один год (рис. 5.13).

Рис. 5.13. Исходный ряд, модель и прогноз продаж компании № 2 (у.е.)

Визуальный анализ позволяет удовлетворительно оценить обе полученные модели (на основании сравнения фактических и смоделированных значений продаж за последний год наблюдений) и рекомендовать использовать полученные прогнозы в планировании маркетинговой деятельности компании. В результате построения тренд-сезонной модели компания имеет возможность построить краткосрочный прогноз продаж, необходимый для планирования ее маркетинговой деятельности.