Одноканальная СМО с неограниченной очередью

В коммерческой деятельности в качестве одноканалыюй СМО с неограниченным ожиданием является, например, коммерческий директор, поскольку он, как правило, вынужден выполнять обслуживание заявок различной природы: документы, переговоры по телефону, встречи и беседы с подчиненными, представителями налоговой инспекции, полиции, товароведами, маркетологами, поставщиками продукции и решать задачи в товарно-финансовой сфере с высокой степенью финансовой ответственности, что связано с обязательным выполнением запросов, которые ожидают иногда нетерпеливо выполнения своих требований, а ошибки неправильного обслуживания, как правило, экономически весьма ощутимы.

В то же время товары, завезенные для продажи (обслуживания), находясь на складе, образуют очередь на обслуживание (продажу). Длину очереди составляет количество товаров, предназначенных для продажи. В этой ситуации продавцы выступают в роли каналов, обслуживающих товары. Если количество товаров, предназначенных для продажи, велико, то в этом случае мы имеем дело с типичным случаем СМО с ожиданием.

Рассмотрим простейшую одноканальную СМО с ожиданием обслуживания, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью X и интенсивностью обслуживания р. Причем заявка, поступившая в момент, когда канал занят обслуживанием, ставится в очередь и ожидает обслуживания. Размеченный граф состояний такой системы приведен на рис. 5.17.

Количество возможных состояний ее бесконечно:

So — канал свободен, очереди нет, k = 0;

S — канал занят обслуживанием, очереди нет, k = 1; S₂ — канал занят, одна заявка в очереди, k = 2;

5/, — канал занят (k — 1), заявка в очереди.

Модели оценки вероятности состояний СМО с неограниченной очередью можно получить из формул, выведенных для СМО с ограниченной очередью, путем перехода к пределу при т ^>

Следует заметить, что для СМО с ограниченной длиной очереди в формуле.

имеет место геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем р. Такая последовательность представляет собой сумму бесконечного числа членов при т —*? оо. Эта сумма сходится, если прогрессия, бесконечно убывающая при р 1 очередь при t —* оо с течением времени может расти до бесконечности.

Поскольку в рассматриваемой СМО ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявка может быть обслужена, поэтому Pofc = 1, следовательно, относительная пропускная способность Q = р₀б_с = 1, соответственно р_ОТК = О, а абсолютная пропускная способность А = XQ = X, L₀^ = р.

Вероятность пребывания в очереди k заявок равна.

• среднее число заявок в очереди.

• среднее число заявок в системе.

• среднее время ожидания обслуживания в очереди.

• среднее время пребывания заявки в системе.

Если в одноканальной СМО с ожиданием интенсивность поступления заявок больше интенсивности обслуживания, % > р, то очередь будет постоянно увеличиваться. В связи с этим наибольший интерес представляет анализ устойчивых СМО, работающих в стационарном режиме при X < р, р < 1.

Пример 5.18. Булочная «Горячий хлеб» имеет одного контролера-кассира. В течение часа приходят в среднем 54 покупателя. Средняя стоимость одной покупки составляет 7 руб. Среднее время обслуживания контролером-кассиром одного покупателя составляет 1 мин. Определим выручку от продажи, характеристики СМО и проведем анализ ее работы.

Решение

По условиям задачи п = 1; X = 54 ед/ч; р = 60 ед/ч, и поскольку р = Х/р = 0,9, то очередь нс будет расти бесконечно, следовательно, предельные вероятности существуют:

• вероятность того, что контролер-кассир свободен,.

• вероятность того, что контролер-кассир занят работой,.

• среднее число покупателей в очереди.

• среднее время ожидания в очереди.

• среднее время пребывания покупателя в булочной.

• среднее число покупателей в булочной.

• вероятность того, что в булочной находятся 1, 2, 3,4 человека, а следовательно, ожидают расчета в очереди у контролера-кассира 1, 2, 3 человека соответственно.

• вероятность того, что ожидают расчета у контролера-кассира не более трех человек, равна.

Доля времени простоя контролера-кассира составляет всего 10% от продолжительности рабочего дня, однако время ожидания обслуживания в очереди ощутимо — 9 мин, поэтому следует уменьшать время обслуживания t_of-_)C, введя дополнительный кассовый аппарат и соответственно контролера-кассира, иначе покупатели будут уходить в другое торговое предприятие, что приведет к ухудшению экономических показателей хозяйственной деятельности, в частности к уменьшению выручки от продажи хлеба и образованию остатков хлеба па следующий день и к потере его качества.

Пример 5.19. Интенсивность потока автомобилей на АЗС к колонке за бензином АИ-92 составляет 30 автомобилей в час, а среднее время заправки равно 5 мин. Проведем анализ работы системы массового обслуживания АЗС.

Решение

X = 30 ед/ч; = 5 мин = 1/12 ч.

Определим характеристики СМО. Интенсивность нагрузки:

Поскольку р > 1, то АЭС не будет работать в стационарном режиме и очередь будет постоянно увеличиваться, поэтому необходимо ввести еще одну колонку с бензином АИ-92 или уменьшить время обслуживания до величины ~ 1,9 мин, тогда.

следовательно, р < 1 и возможен стационарный режим работы на бензозаправочной станции.

Пример 5.20. В парикмахерской работает только один мужской мастер. Среднее время стрижки одного клиента составляет 20 мин. Клиенты в среднем приходят каждые 25 мин. Средняя стоимость стрижки составляет 60 руб. Как в первую смену с 9 до 15 ч, так и во вторую — с 15 до 21 ч работает один мастер. Провести анализ работы системы обслуживания.

Решение

п = 1; X = 2,4 клиента/ч; t_Qfc = 20 мин = 1/3 ч.

Находим:

• интенсивность нагрузки.

• долю времени простоя мастера.

• вероятность того, что мастер занят работой,.

• среднее число клиентов в очереди.

• среднее время ожидания в очереди.

• среднее время пребывания клиентов в парикмахерской

Система работает вполне удовлетворительно. Поскольку р < 1, то режим работы системы устойчивый, 20% рабочего времени мастер не занят, а остальные 80% времени занят работой, длина очереди (3,2 клиента) небольшая, а среднее время пребывания клиента в парикмахерской всего 21,34 мин. Если интенсивность появления клиентов увеличится, например, до X = 4 клиента/ч, то интенсивность нагрузки составит р > 1 и очередь будет постоянно увеличиваться, что приведет к неустойчивому режиму работы СМО.