Структурная устойчивость систем автоматического управления

Структурная схема САУ состоит из звеньев, число, свойства и характер соединения которых выбираются в соответствии с требуемыми статическими и динамическими характеристиками системы. Помимо ТДЗ, приведенных в подразд. 3.1, в состав системы могут входить и другие звенья, например консервативное, звенья с отрицательным статизмом, форсирующие звенья и др. Звенья с отрицательным статизмом относятся к группе неустойчивых. Консервативное звено можно представить как колебательное с малым трением (декрементом затухания), которым при исследовании целесообразно пренебречь. Передаточная функция консервативного звена с положительным статизмом.

с отрицательным статизмом.

Передаточные функции звеньев 1-го и 2-го порядков с отрицательным статизмом имеют следующий вид:

Передаточная функция идеального форсирующего звена.

Форсирующее звено можно представить как параллельное соединение двух элементов: пропорционального звена с коэффициентом усиления, равным единице, и идеального дифференцирующего звена.

Структурно-устойчивой называется такая система, которая может быть сделана устойчивой путем выбора соответствующих параметров без изменения ее структуры. Структурно-неустойчивая система будет неустойчивой при любых значениях параметров, и ее можно сделать устойчивой, только изменив структурную схему.

Впервые вопрос определения структурной устойчивости систем автоматического управления был поставлен И. И. Гальпериным. Однако эта задача в общем виде в настоящее время не решена. Только для некоторых классов однои многоконтурных структурных схем сформулированы частные признаки, по которым можно судить о структурной устойчивости системы.

Рассмотрим примеры структурных схем структурно-неустойчивых (рис. 7.8, а, б) и структурно-устойчивой (рис. 7.8, в) систем.

На схеме рис. 7.8, а основная цепь воздействий состоит из инерционного и консервативного звеньев, которые охвачены ОС, имеющей коэффициент передачи, равный единице.

Характеристическое уравнение замкнутой системы найдем по выражению После подстановки значений К_] и К₂ из структурной схемы получим.

Согласно критерию Гурвица.

так как при положительных значениях Г, Т_ъ k, и к₂ это условие приводится к виду

Таким образом, система оказывается структурно-неустойчивой при любых параметрах Т, Т_ъ к, к_ъ и для того чтобы сделать сс устойчивой, нужно изменить структурную схему.

Структурная схема рис. 7.8, б содержит одно инерционное и два интегрирующих (или астатических) звена. Характеристическое уравнение, соответствующее этому случаю, имеет вид или

При любых значениях Г, Г₂, к и к₂ условие Гурвица не выполняется, так как.

Рис. 7.8. Системы:

а, б — структурно-неустойчивые; в — структурно-устойчивая Следовательно, система структурно неустойчива.

На основании схемы рис. 7.8, в, в состав которой входят инерционное и колебательное звенья, можем написать: или.

При подборе соответствующих параметров можно добиться выполнения критерия устойчивости Гурвица.

Таким образом, система структурно устойчива.

На основании исследования ряда структур САУ были получены признаки структурной устойчивости, которые приводятся в литературе в виде таблиц и условий. Так, в отношении одноконтурных систем могут быть сформулированы следующие условия: для того чтобы одноконтурная система, не содержащая неустойчивых звеньев или содержащая одно такое звено, была структурно-устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы: а) система, не имеющая неустойчивых звеньев, содержала не более одного астатического звена, а система, включающая в себя одно неустойчивое звено, вообще не содержала астатических звеньев; б) система, содержащая q консервативных звеньев, имела степень характеристического уравнения больше чем 4q.

Воронов А.А. приводит условия структурной устойчивости САУ в следующей форме. Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид.

где символ П обозначает произведение нескольких однотипных функций вида, соответствующего многочлену, стоящему после символа.

Таблица 7.1.

Условия структурной устойчивости.

Введем следующие обозначения: п — степень знаменателя; т — степень числителя; v — число нулевых корней знаменателя; t — число вещественных корней знаменателя, расположенных справа от мнимой оси;/— число чисто мнимых, нулевых и комплексных корней знаменателя справа от мнимой оси; г — целая часть дроби 0,5/ Система будет структурно-неустойчивой, если нарушается неравенство т > v + /- 1 и одно из неравенств, приведенных в табл. 7.1.

Для частного случая одноконтурной системы без воздействий по производным числитель к = const, т- 0 и система получается структурно-неустойч и вой, если нарушается одно из соотношений: v + / < 1 или п > 4 г.