Критерий абсолютной устойчивости В. И. Попова

Система дифференциальных уравнений, описывающих динамику структур с нелинейными элементами, может быть записана в виде где a, j, b_h c_k — заданные коэффициенты (числа).

Если все с_к кроме одного (например, С|) равны нулю, то нелинейная функция /(а) зависит только от одной координаты.

Обозначив для этого случая и =/© и положив, что функция /(о) непрерывная и гладкая, после исключения из уравнений (11.15) всех переменных кроме и и о найдем операторное уравнение линейной части системы в виде.

Будем считать, что разомкнутая система устойчива, т. е. все корни уравнения

расположены слева от мнимой оси. Условно можно положить, что уравнение (11.16) определяет передаточную функцию.

соответствует линейной части (ЛЧ) струкгурной схемы (рис. 11.6, а), которая замкнута с помощью обратной нелинейной части (ОНЧ).

Система (11.15) абсолютно устойчива в том случае, если она устойчива в целом при любом выборе нелинейной характеристики и = /(а), удовлетворяющей неравенству 0 </(о) < о, т. е. расположенной внутри угла, ограничиваемого осью абсцисс и прямой и = ко, где к — заданное число (рис. 11.6, б).

Критерий абсолютной устойчивости В. М. Попова следует из теоремы: для того чтобы система вида (11.15) была абсолютно устойчива в угле (0, к), достаточно, чтобы можно было подобрать.

Рис. 11.6. Нелинейная система: а — структура; б — характеристика нелинейной части такое конечное число q, при котором при любом со > О выполняется неравенство.

Попов В.М. указал следующую геометрическую интерпретацию его теоремы. Введем в рассмотрение видоизмененную частотную характеристику, которая перестраивается из И^(/<�о), если нс менять абсцисс, а ординаты умножить на со:

Рис. 11.7. Критерий абсолютной устойчивости В. М. Попова: а —г — АФХ систем, для которых критерий выполняется; д, е — не выполняется Левую часть неравенства (11.18) можно записать так:

Re (l + jq®>) + /к = Re W (jca> — qu)lmW (j (o) + I /к,

тогда условие устойчивости будет иметь вид Уравнение

определяет в плоскости XY прямую, проходящую через точку X = = -1 /к, У= 0 с угловым коэффициентом /q.

Критерий абсолютной устойчивости сформулирован В. М. Поповым следующим образом: для абсолютной устойчивости достаточно, чтобы в плоскости XV через точку действительной оси с абсциссой -1 /к можно было провести негоризонтальную прямую так, чтобы видоизмененная частотная характеристика не пересекала этой прямой (она может иметь с этой прямой общие точки).

На рис. 11.7 а —г изображены ДФХ абсолютно устойчивых систем, для которых критерий В. М. Попова выполняется, на рис. 11.7 д, е — характеристики неустойчивых систем, для которых этот критерий не выполняется.