Упругие волны малой интенсивности в изотропной среде

Рассмотрим волны малой интенсивности, что позволит сделать ряд упрощений математической модели.

Процесс распространения волнового возмущения рассматривается как адиабатический. Это предположение характерно для многих задач о распространении волн, так как обычно сжатие и расширение частиц среды происходит достаточно быстро, характерное время этого процесса много меньше, чем характерное время процессов теплопроводности, поэтому можно принять, что материальные частицы, участвующие в волновом процессе, не обмениваются теплом и в целом распространение волны протекает адиабатически. Процесс адиабатической деформации можно описать зависимостями обычного вида, заменив только упругие константы их «адиабатическими» значениями:

В дальнейшем будем опускать символ адиабатичности и считать, что упругие константы представлены своими адиабатическими значениями (6.2).

Упругие волны в неограниченной изотропной среде

Плоские волны в неограниченной среде. Остановимся вначале на распространении в неограниченной среде плоской волны. Можно считать, что направление волнового вектора совпадает с направлением оси Ох декартовой системы координат. В этом случае вектор перемещений будет векторной функцией времени и единственной координаты х: u = и (х). Мы должны принять во внимание, что в рассматриваемом процессе будут присутствовать все три компонента вектора перемещений. Компонент и_х представляет продольное, отвечающее направлению распространения плоской волны, перемещение точек, а компоненты и_у и u_z поперечные перемещения.

Рассмотрим теперь уравнение движения упругой среды в перемещениях:

В случае плоской волны, распространяющейся в направлении х, все параметры в каждом сечении х = const по координатам у и 2 будут одинаковы и, следовательно, в уравнениях, описывающих процесс, следует принять д/ду = д/dz = 0. Учитывая это обстоятельство, представим (6.3) в координатной форме для компонентов вектора перемещений. Получим следующие три уравнения:

Каждое из них является волновым уравнением вида (6.1). Коэффициент, стоящий при второй производной по пространству, представляет квадрат скорости распространения волны. Выразим эти коэффициенты через другие наборы упругих постоянный и введем обозначения.

Общий случай распространения волн. Скорости распространения плоских упругих волн можно принять за упругие константы. Уравнение для вектора деформации (6.3) можно представить в виде.

Представим вектор перемещения в виде суммы двух векторов: и = щ + ui, примем, что векторное поле, определяемое вектором щ является бездивергентным, а поле вектора щ — безвихревым:

Известная теорема векторного анализа устанавливает, что любое векторное поле может быть представлено в виде потенциальной и вихревой составляющих: b = rot / + grad ip. Отсюда следует возможность представления поля перемещений в виде (6.7).

Применим теперь к этому уравнению операцию дивергенции. В силу того, что divtit = 0, получим.

Здесь использована перестановочность дифференциальных операторов, а также операторное тождество div grad = Д. Полученное уравнение после приведения подобных членов может быть представлено в виде dv (ui—cfAui) = 0. По вычисление вихря от выражения, стоящего в скобках, также дает ноль в силу принятого представления (6.7). Таким образом, мы имеем два соотношения: div (ii/ — cfAui) = = 0, rot (ii/ — cfAui) = 0, которые отвечают известной теореме векторного анализа о восстановлении векторного поля по его вихрю и расхождению. Согласно этой теореме, если и вихрь и дивергенция некоторого вектора равны нулю, то и иоле этого вектора тоже нулевое. Отсюда мы получаем уравнение для бездивергентной части вектора деформации:

Эго волновое уравнение устанавливает, что и в трехмерном случае в безграничной среде волны искажения будут распространяться независимо от воли сжатия.

Аналогично волновое уравнение можно получить и для волн сжатия. Для этого применим к (6.8) операцию взятия вихря. Безвихревая часть вектора перемещений пропадет из рассмотрения, и уравнение примет вид rot(щ — cfAut) =0. Но дивергенция выражения, стоящего в скобках, также равна нулю в силу гот, что вектор Ut бездивергентен. Отсюда заключаем, что должно быть.

Волны в стержнях. Интересный и важный для практики случай представляет задача о распространении волн в упругих стержнях. К такой задаче можно применить строгую теорию, учитывающую напряженное и деформированное состояние поверхности стержня как поверхности твердого тела. Однако то обстоятельство, что для достаточно тонкого стержня длина волны будет значительно больше его поперечного размера, позволяет достаточно обоснованно ввести допущения, существенно упрощающие задачу.

Прежде всего отметим, что в стержнях могут распространяться волны трех типов: 1) продольные, в которых частицы осуществляют движения вдоль осевой координаты стержня, его участки удлиняются, но поперечных движений материальных частиц нет; 2) крутильные, в которых поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими, осуществляют поворот вокруг продольной оси, а сама ось стержня остается неизменной; 3) поперечные колебания стержня, при которых поперечные движения осуществляют элементы продольной оси стержня.

Рассмотрим продольные волны в стержне. Примем, что каждое поперечное сечение во время движения остается плоским, а напряжение равномерно распределено, но сечению. При таких предположениях можно легко построить уравнение, определяющее распространение продольных воли напряжения в стержне.

Выделим в стержне малый элемент длиной dx. Масса этого элемента pS dx, а приложенная сила определяется изменением напряжения а_хх на его длине А = S —dx. Ускорение элемента.

ах

будет представляться второй производной от его смещения, но времени. Уравнение движение этого элемента запишется как.

11римем, что элементы стержня находятся в одноосном напряженном состоянии, для которого закон Гука имеет классический вид: а_хх = = Еди/дх. Подставляя это соотношение в уравнение движения и производя очевидные упрощения, получим.

Это одномерное волновое уравнение, из него следует, что в стержне могут распространяться в прямом и обратном направлении волны с постоянной скоростью cs, которая называется стержневой скоростью волны. Эта скорость меньше, чем скорость волн расширения: