Введение. 
Теоретическая механика

МЕХАНИКА — НАУКА О ДВИЖЕНИИ. ЭТАПЫ СТАНОВЛЕНИЯ МЕХАНИКИ КАК ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ НАУКИ — ОСНОВЫ СОВРЕМЕННОЙ ТЕХНИКИ.

Предметом теоретической механики является построение механических моделей, описывающих взаимные перемещения материальных объектов. Каждый из нас оказывается свидетелем движения различных предметов и невольно оценивает характеристики их движений: траекторию предмета, его скорость и ускорение. Остается открытым вопрос о причинах, побуждающих материальные объекты изменять взаимное расположение в пространстве.

Процесс построения модели механической системы можно условно разделить на два этапа. Поясним эту мысль на примере построения модели Солнечной системы. На первом этапе человечество накапливало экспериментальный материал, наблюдая за движением Солнца, Луны и других планет по небесному своду. В поле зрения любопытных людей попадали и движущиеся в ближайшем окружении предметы: брошенный камень или предмет, скатывающийся по наклонной поверхности горы. Одновременно шло развитие математики, в частности таких ее разделов, как аналитическая геометрия, математический анализ, теория функций и дифференциальные уравнения. Математические абстракции в этих теориях служили фундаментом и теми кирпичиками, из которых в XVIII в. было построено здание под названием механика. Отвлекаясь от практических задач, стоящих перед механикой, о которых речь пойдет ниже, можно утверждать, что механика явилась синтезом ряда математических наук и что ее саму можно рассматривать как одну из составляющих современного здания математики. Однако механика обладает еще одной чертой, которая не всегда присуща ряду разделов математики. Это ее практическая направленность, т. е. все модели механики с той или иной точностью призваны объяснить поведение реальных объектов, существующих в природе, или машин, создаваемых человеческим гением.

Вернемся к объяснению движения планет Солнечной системы. Экспериментальные факты, накопленные астрономами на протяжении ряда веков, легли в основу трех законов Кеплера о характере движения планет вокруг Солнца. Следующим шагом в развитей механики, с которого начался второй этап ее развития, следует считать формулировку второго закона динамики И. Ньютоном. Суть предложенной Ньютоном модели состоит в том, что всякое движение материальной частицы, т. е. точки, наделенной массой, можно описать дифференциальными уравнениями второго порядка, когда их правые часта, именуемые силами, задаются как функции времени, положения и скорости точки. Фактически Ньютон объединил в единой теории ряд понятий геометрии, математического анализа и теории дифференциальных уравнений, в которых независимым аргументом стало время.

На основе этой модели и сформулированного Ньютоном закона всемирного тяготения удалось объяснить движения всех планет и вывести найденные ранее законы Кеплера. С этого момента началось бурное развитие механики как науки о движении. В сферу ее интересов попали практически все макрообъекты окружающего нас мира, которые представлялись как системы материальных точек или твердых тел, а также деформируемые тела, жидкости или газы.

Каждый раз требовалось определить закономерности формирования сил или силовых полей, используя которые, записывали системы дифференциальных уравнений. Успех моделирования тех или иных движений приходил тогда, когда сравнение теоретических, расчетных движений с движениями реальных физических объектов обнаруживало их сходство в качественном и количественном отношениях. Этот путь оказался чрезвычайно плодотворным и в других областях, связанных с объяснением поведения различных технических устройств в машиностроении, авиации, кораблестроении, космонавтике и в других областях человеческой деятельности. Практически в любой отрасли промышленности невозможно обойтись без предварительного анализа работы того или иного технического устройства. Существенную роль при этом играют методы исследования современной классической механики.

Существует достаточно короткий перечень задач, когда удается найти решение в аналитическом виде и исследовать свойства движений, их зависимость от параметров задачи. В остальных случаях приходится привлекать современные вычислительные средства для получения частных решений задачи, на основе которых подбираются оптимальные значения параметров. Здесь большую роль играет опыт конструктора и ученогомеханика при отборе оптимальных по тем или иным критериям параметров механического устройства.

Современные машины не могут успешно функционировать без соответствующих электронных устройств, контролирующих их работу и подающих команды на исполнительные устройства, в которых формируются силовые воздействия на механическую систему. Это направление в механике называют мехатроникой, успешная деятельность в которой требует знаний не только классической механики, но и ряда смежных дисциплин, таких как электричество, электроника, оптика. Этот список может быть продолжен, поскольку развитие современной науки демонстрирует тенденцию к взаимному проникновению идей и методов исследований. Отметим, в качестве примера, биологию и медицину, где конструирование современной медицинской аппаратуры немыслимо без механики, а проблема создания биологического робота, устройства, работающего под действием команд головного мозга, может быть решена только при совместном использовании медико-биологических методов исследования поведения живых существ и методов построения механических устройств, реализующих поведение живого организма. В связи с этим актуальными задачами современной науки являются задачи исследования движений живых организмов как механических систем.

Остановимся на еще одной особенности изучения поведения различных механических систем. Ответим на вопрос: является ли единственной предложенная модель функционирования той или иной механической системы? Ответ на этот вопрос — отрицательный. Можно построить бесчисленное множество моделей, объясняющих поведение той или иной механической системы. Поскольку речь идет о моделировании поведения реальных систем на конечном интервале времени, которое определяется как решение системы дифференциальных уравнений, то любое малое изменение правых частей уравнений приведет к малому изменению решений. С практической точки зрения модель окажется удовлетворительной, поскольку начальные условия движений всегда известны с определенными погрешностями. Критерием выбора «правильной модели» может быть ее простота, соответствующая возможностям определения реальных движений и их сравнения с законами движений, полученных на основе выбранной модели.

Отметим, что с течением времени и развитием измерительных средств модель, выбранная ранее, перестает удовлетворять критериям точности. В этом случае следует учесть новые обстоятельства, усложнить модель и попытаться на этом пути объяснить те явления в поведении механической системы, которые не укладываются в рамки старой модели. Поясним эту мысль на примере моделей Солнечной системы в небесной механике. Простейшая модель состоит из множества материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения. При этом планеты и Солнце представляются точками с определенными массами. Эта модель достаточно точно предсказывает положения планет на интервалах времени, значительно превосходящих их периоды вращения по орбитам. В следующей, «более точной», модели планеты и Солнце трактуются как абсолютно твердые тела. В рамках этой модели появляется связь между поступательными и вращательными движениями небесных тел. Наконец, планеты и Солнце можно рассматривать как деформируемые тела или тела, состоящие из абсолютно твердых, жидких или деформируемых сферических слоев. Эти более сложные модели позволяют объяснять тонкие эффекты поступательно вращательных движений планет. Резюмируя сказанное выше, сформулируем рекомендации ученым, занимающимся моделированием механических явлений.

Первое: следует выбирать наиболее простую механическую модель, которая удовлетворяет критериям точности в поставленной практической задаче.

Второе: усложнение модели должно происходить либо в связи с повышением точности измерений параметров движения механической системы, либо в связи с обнаружением новых обстоятельств движения, которые невозможно объяснить в рамках старой модели.

Всякая модель, в том числе и модель классической механики, имеет ряд ограничений, касающихся области их применения. Например, при скоростях движения частиц, близких к скорости света, традиционное описание механической системы не позволяет объяснить с необходимой точностью их поведение. В этом случае используют модель специальной теории относительности. Использование дифференциальных уравнений, в которых правые части, определяющие силы, зависят от предшествующих моментов времени (дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом), расширяет возможности исследователя при описании движений механических систем.